Matematické Fórum

atletka7.7

Prosila bych o pomoc s těmito rovnicemi:

Předem děkuji za pomoc.x

Rumburak

↑ atletka7.7:
A to je chceš řešit všechny najednou? Pak není divu, že se to nedaří :-). Vyber si jednu z nich, která Ti připadá nejschůdnější,
na ty ostatní pro tu chvíli zapomeň a na tu vybranou se naopak soustřeď a zkus se s ní nějak potýkat, upravovat ji, hledat v ní
nejaké algebraické vztahy. Například u první rovnice by sis měla všimnout, že $8 = 2^3$ , což můžeme využít ke zjednodušení
té rovnice tak, aby všechny exponenciální výrazy v ní měly stejný základ. Obdobně se bude postupovat i u druhé a čtvrté rovnice.
U třetí rovnice pomůže jistá substituce.
Až budeš mít některou z nich vyřešenou, vyber si nějakou další atd.

Při řešení exp. rovnic má základní význam věta, která říká, že exponenciální funkce (jejíž základ je kladný a různý od 1) je prostá,
což lze zapsat ve tvaru

$$a \in (0, 1)\cup(1, +\infty) \wedge x,y \in \mathbb{R} \wedge a^x = a^y $ \Rightarrow x = y$ .

Snažíme se proto expon. rovnici upravovat tak, abychom ji dovedli do tvaru $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ a pomocí předchozí věty ji mohli
převést na jednodušší rovnici $f(x) = g(x)$ .

Pokud si s některou KONKRETNÍ rovnicí nebudeš vědět rady, tak napiš, v čem je problém, a jistě někdo poradí.

Cheop · 12. 12. 2011 14:03

↑ atletka7.7:
Ukáži 1) dle ↑ Rumburak: čímž ho tímto zdravím.
$2^x\cdot\left(\frac 18\right)^{1-x}+2^{1-x}\cdot\left(\frac 18\right)^{x}=1\\\frac{2^x\cdot 8^x}{8}+\frac{2}{2^x\cdot 8^x}=1\\\frac{2^x\cdot 2^{3x}}{8}+\frac{2}{2^{3x}\cdot 2^x}=1\\\frac{2^{4x}}{8}+\frac{2}{2^{4x}}=1$

Substituce $2^{4x}=t$
$\frac t8+\frac{2}{t}=1\\t^2-8t+16=0\\t=4$
Vratka k substituci:
$2^{4x}=t\\2^{4x}=4\\2^{4x}=2^2\\4x=2\\x=\frac 12$

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2011 12:15 — Editoval atletka7.7 (11. 12. 2011 12:15)

Exponenciální rovnice

#2 12. 12. 2011 13:06 — Editoval Rumburak (12. 12. 2011 13:21)

Re: Exponenciální rovnice

#3 12. 12. 2011 14:03

Re: Exponenciální rovnice

Zápatí