Matematické Fórum

TAJNaholkA

Zdravím, tak zítra jdu na to, tak už pak dám pokoj, ale dneska se to potřebuju ještě došrotit. :D
Mám tu 4 příkady na hyperbolu, se kterýma si nevím rady, ty ostatní jsem zdárně dokončila :D
1. Napište rovnici hyperboly, která má střed v počátku, osy v souřadných osách (tohle jsem nepochopila, myslela jsem, že má jen jednu osu), jejíž asymptota má rovnici: $x - 2y =0$ a tečna je přímka $x - y = 3$ - uzavreno :-)

2. Určete úhel asymptot hyperboly H: $4x^2 - 5y^2 = 100$

3. Napište osovou rovnici (co to je?) hyperboly, která prochází bodem M (15,6) a asymptota má rovnici $2x + 3y = 0$

4.Vypocitan :)

Diky moc, nervim tu den pred zkouskou.. :(

Jorica · 27. 08. 2008 13:49 — Editoval Jorica (27. 08. 2008 13:52)

↑ TAJNaholkA:
Bohuzel ted musim pryc od PC, takze nemuzu odrobneji poradit, ale k tem osam. Koukni na obrazek na Wikipedii, kde jsou skutecne 2 osy ;-) hyperboly. Jsou vyznaceny cerchovane...dokonce jsou i rovnobezne s osami souradnic, jen pocatek hyperboly neni v pocatku...ale jako "dukaz" toho, ze jsou ty osy 2 by to mohlo stacit, ne?

K terminu "osova rovnice"....mam pocit, ze je to jen jiny termin pro stredovou rovnici hyperboly (tento termin je pouzit i na wikipedii) pro specialni pripad hyperboly, jejiz stred je v pocatku, tj. S[0, 0].

lukaszh

↑ TAJNaholkA:
1. Ak je stred v počiatku súradnicových osí, je to o to ľahšie. Asymptoty hyperboly majú rovnice:
$y=\pm\frac{b}{a}\cdot x$
Po úprave danej rovnice zadanej asymptoty dostaneš:
$y=\frac{1}{2}\cdot x$
To ale neznamená, že b=1 a a=2. Môže to by? aj b=4 a a=8. Preto zapíšem iba a=2k, b=k, kde k je nejaký reálny násobok.
Rovnica hyperboly bude ma? tvar:
$\left(\frac{x}{2k}\right)^2-\left(\frac{y}{k}\right)^2=1\,;\quad k\in\mathbb{R}$
Teraz využi tu tečnu. Vyjadrím si z nej neznámu napríklad y a dosadím do rovnice hyperboly:

Ak má by? daná priamka dotyčnicou tak diskriminant musí by? rovný nule, aby mala rovnica jedno riešenie teda jeden bod:
$D=144-48k^2\nl144-48k^2=0\nl k=\sqrt{3}$
Teraz už len dosadíš koeficient do rovnice hyperboly a dostaneš rovnicu:
$\left(\frac{x}{2\sqrt3}\right)^2-\left(\frac{y}{\sqrt3}\right)^2=1$
2. Najprv uprav rovnicu na stredový tvar. To je ten s ktorým som pracoval v predošlom príklade. Zistíš a,b a dosaď hodnoty do rovníc asymtot. Len pozor:
Rovnice asymtot hyperboly so stredom S[0;0]
$y=\pm\frac{b}{a}\cdot x$
Rovnice asymtot hyperboly so stredom S[x_0;y_0]
$y-y_0=\pm\frac{b}{a}\cdot (x-x_0)$
Potom už len počítaš uhol priamok, určite to zvládneš ;-)

Jorica · 27. 08. 2008 14:31 — Editoval Jorica (27. 08. 2008 15:00)

↑ lukaszh:

Jeste nakukuju...nejak se mi zbrzdil "taxik" a tim i odjezd...nez jsem zacla neco tukat, vidim, ze uz se do toho nekdo pustil. Jen mam dotaz...

Nejsou u toho Pr. 1 dve reseni? Teda kdyz si to predstavim, ze znam u hyperboly jen stred a osy, tak existuji 2 ruzne hyperboly, ktere lze k temto parametrum zakreslit.

$$\frac{x}{a}$^2-$\frac{y}{b}$^2=1$ (tu jsi pouzil) a jeste tato$ -$\frac{x}{b}$^2+$\frac{y}{a}$^2=1$

Pri pouziti te druhe rovnice neni nutne vse znovu pocitat. Diskriminant pro tyto "sdruzene hyperboly" vyjde stejne, tj. $D=144-48k^2$ . Polozime rovno nule a pro koeficient k vyjde $k=\pm\sqrt 3$ . Ty jsi psal jen kladny koren, protoze pri dosazen toho zaporneho by vysla stejna rovnice hyperboly, ale ja to tu radej zminim, at nad tim nekdo nehlouba, proc jen plus ;-)

Takze ta druha rovnice hyperboly by mela byt
$-$\frac{x}{\sqrt 3}$^2+$\frac{y}{2\sqrt 3}$^2=1$ a po uprave$ -\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{12}=1$.

lukaszh · 27. 08. 2008 14:41

↑ Jorica:
Mna to nenapadlo :-) Snáď áno, ale bude sa to počíta? tým istým spôsobom.

TAJNaholkA · 27. 08. 2008 15:11

super, takze jednicka by byla:D to jsem i pochopila:D

Jorica · 27. 08. 2008 15:37 — Editoval Jorica (27. 08. 2008 15:40)

↑ TAJNaholkA:
Tak na priklad 2 Ti dal ↑ lukaszh: uz taky navod, tak to zkus.

K te "trojce". Jak jsem psala:
Napište osovou rovnici = napište středovou rovnici hyperboly, která má střed v počátku.
Takove rovnice jsou dve:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ -\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$.
U prikladu cislo jedna jsme pocitali s obema, uloha mela 2 reseni. Pokud si predstavis, co znas ted (asymptoty hyperboly a bod, kterymi prochazi), reseni bude jen jedno, tzn. pouziti jedne z rovnic by nemelo vest k reseni.

Rovnici asymptoty lze vyjadrit ve tvaru $y=-\frac 23 x$ . Rovnice asymptot maji obecne tvar $y=\pm\frac ba x$ . Opet nelze rict, ze b=2 a a =3, zname jen jejich pomer. Abych nemusela pocitat se zlomky, zvolim $a=3k$ , $b=2k$

ad 1) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ Dosad za$ a=3k $,$ b=2k $a souradnice bodu x=15, y=6. Povede to na kvadratickou rovnici, odkud$ k^2=16 $. Do dosad zpet do rovnice hyperboly a mas reseni$ \frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{64}=1$

ad 2) $-\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ by nemelo vest k reseni. Pokud zopakujes predchozi postup, dojdes k tomu, ze$ k^2=-...$.

Zkus dopocitat mezikroky, ktere jsem neuvedla, snad to bude potom jasnejsi.