Matematické Fórum

middlesboro · 27. 08. 2008 17:32

mam takyto integral $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%5Csqrt%7B(1-cost)%5E2%20%20%2B%20(sint)%5E2%20%7D$ mozem to riesit tak ze si roznasobim zatvorky a potom to integrovat po castiach ? mozem to tak robit alebo na to idem nespravne ? diky

Jorica · 27. 08. 2008 17:36

↑ middlesboro:
Nabizeny postup nebude fungovat kvuli te odmocnine...pod odmocninou ti vyjde rozdil a NELZE ROZDELIT odmocninu takto: $\sqrt{a-b}=\sqrt a-\sqrt b$ .

middlesboro · 27. 08. 2008 17:43

toho som sa bal ze to nepojde. a akym sposobom by sa to dalo vyriesit ?

Jorica · 27. 08. 2008 17:59

↑ middlesboro:
Tohle je primo zadani nebo jsi k tomu integralu dospel nejakym vypoctem a ted nevis, co s nim dal? Ne, ze by na tom zalezelo, jen me to zajima, protoze zadani integralu se porad vicemene opakuji a tento jsem snad jeste neresila :-)

No ja nevim, po uprave to lze prevest na $\sqrt 2 \int\sqrt{1-\cos t}{\mathrm d}t$

No urcite by zabrala univerzalni substituce, je prece univerzalni, ale kdo to ma pocitat, ze?

Jeste me napadlo, zda by nesel nejak pouzit vztah pro polovicni uhel, tj. $|\sin\frac {t}{2}|=\frac{\sqrt {1-\cos t}}{\sqrt 2}$ . Vyjadrit odtud vyraz $\sqrt{1-\cos t$ , pouzit ho v tom integralu a integrovat. Ale je to jen nastrel.

middlesboro · 27. 08. 2008 18:04

povodne zadanie znie : vypocitajte dlzku krivky
x = t - sint
y = 1 - cost

tak dufam ze som to spravne zderivoval a spravne dosadil

Olin · 27. 08. 2008 18:04 — Editoval Olin (27. 08. 2008 18:06)

Vtip je v tom, že nejprve se upraví integrovaný výraz podle goniometrických vzorců.

$\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} = \sqrt{1 - 2\cos t + 1} = \sqrt{2 - 2\cos t} = 2 \sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} = 2 \left | \sin \frac x2 \right |$

EDIT: Aha, kolegyně Jorica už to zvládla dřív… Jen nevím, jak integrovat tu absolutní hodnotu.

Jorica · 27. 08. 2008 18:15 — Editoval Jorica (27. 08. 2008 18:29)

↑ Olin:
No ja uz navrhla pres ten polovicni uhel. Ted jsem to tu sesmolila i pomoci te univerzalni substituce...kterou si nepamatuju, takze nez jsem si odvodila vsechny vyrazy potrebne, tak byl cely vypocet na stranku, fuuuj ;-)

Vyslo mi to stejne obema zpusoby...jen pres ten polovicni uhel to bylo na 1 radek. Jedinou nepresnost vidim v te absolutni hodnote, kterou jsem pri integrovani nahradila znamenky +-, ale pri univerzalni substituci samozrejme zadne +- nevyslo. Kdyz ted ale vim, ze se ma jednat o delku krivky, tak mym pocit, ze ta +- muzeme "opomenout" kdyz delka krivky je kladna.

No vim, ze to ctou i erudovani matematici a jsem pripravena prijmout kritiku za svuj pristup, ze si tu "zanedbam" absolutni hodnotu.

Jo a ten vysledek je $\pm4\cos\frac{t}{2}+c$

Edit: Tak pri podrobnejsim zkoumani vidim vysledek +- i pomoci univerzalni substituce, kde se po zpetnem dosazovani objevi pod odmocninou fce kosinus na druhou a odtud by taky "vypadlo" +-.

Pavel Brožek

↑ middlesboro:
Neuvedl jsi jakou délku myslíš, tak předpokládám, že délku s(t)-s(0)=s(t).

↑ Jorica:

Křivka utíká s t do nekonečna, takže s t musí délka růst také do nekonečna. Pokud sinus není v absolutní hodnotě, pak se v integrálu "požírají" kladné a záporné hodnoty. Pokud je ale v absolutní hodnotě, načítá se do nekonečna. Budeme muset lepit funkce:

$s=\int_0^t\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t}\,\text{d}t =\int_0^t \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}\, \text{d}t=\int_0^t \sqrt{1 - 2\cos t + 1}\, \text{d}t=\int_0^t \sqrt{2 - 2\cos t}\,\text{d}t = \nl =2 \int_0^t\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}\,\text{d}t = 2 \int_0^t\left | \sin \frac t2 \right |\text{d}t=4 \int_0^{\frac{t}{2}}| \sin u |\text{d}u$

Protože $|\sin u|$ je periodický s periodou $\pi$ , dostaneme po integrování funkci, kde bude platit $F(x+\pi)=F(x)+C$ , kde C je konstanta (Platí $C=\int_0^{\pi}|sin x|\,\text{d}x=2$ ). Vyřeším nejdříve neurčitý integrál:

Je tedy

EDIT: Opravil jsem to, je to ale hrozně dlouhý zápis, tak pokud někdo víte, jak ten zápis nějak výrazněji zkrátit, tak se podělte :-)