Matematické Fórum

Zadání příkladu je následující:

V bodu [0; 0] v rovine sedí kobylka a v bode [n; n] zába. Kobylka skace kazdou vterinu
vzdy o jednu jednotku nahoru nebo doprava a to se stejnou (polovicní) pravdìpodobností. zába
poskocí rovne za vterinu o jednu jednotku a to dolù ci doleva, opet se stejnou (polovicní) pravde
podobností. Urcete pravdepodobnost, ze se potkají.

Nad řešením dumám už více než hodinu a nejsem schopný přijít na nějaký kloudný postup.

Nejprve mě napadlo vyjádřit si vzhledem k n všechny možnosti kroků kobylky délky n a nim odpovídající kroky žáby tak, aby končily na stejném poli. Pro malá pole by toto řešení asi bylo proveditelné, nicméně mám strach, že obecně vzhledem k n bych se řešení nedopracoval.

Poté mě napadlo na řešení jít přes geometrickou posloupnost, čili získat počet všech možných pozic kobylka-žába a tím poté vydělit pouze ty pozice, které jsou u obou zvířat stejná.

Na řešení přes vytvořující funkce nejsem schopný přijít. Všechny příklady, které nám byly odpřednášeny se nesly v poněkud jiném duchu a nevím jak přesně tady tento uchopit. Napadla mě i lehká souvislost s Catalanovými čísly, nicméně by bylo třeba ještě zohlednit situace, kdy se zvířata dostanou nad/pod diagonálu.

Předem díky za jakýkoli hint, jenž by mě posunul alespoň o krok dál k výsledku.