Matematické Fórum

Pavel Brožek · 30. 08. 2008 17:40

Při přednášce jsme si říkali, že diferenciální rovnice $y''=f(x,y)$ se dá řešit vynásobením 2y':

$2y'y''=2y'f(x,y)\nl \left((y')^2\right)'=\left(2F(t,y)\right)'|_{t=x}$ ,

kde $F(x,y)=\int_0^y f(x,s)\text{d}s$ .

Dále mám v šešitu napsáno

$(y')^2=2F(x,y)+C\nl y'=\pm\sqrt{2F(x,y)+C}$ ,

to už podle mě není dobře (např. pro rovnici y''=x, y(0)=1, y'(0)=0 to dává nesmysly). Myslím, že tento postup funguje pouze na rovnici y''=f(y). Můžete mi prosím vysvětlit jak by to mělo fungovat pro y''=f(x,y)?

kaja.marik

Taky na to hledim ......
Skoro se mi chce napsat ze to je hloupost, ale jeste to prilezitostne promyslim.

Treba se vyjadri nekdo povolanejsi .....

podle me se funkce dvou promennych derivuje takto

$\left(F(t,y(t))\right)'=\frac{\partial F(t,y)}{\partial t}+\frac{\partial F(t,y)}{\partial y}y'$

carka je derivace podle t

Mimochodem - pro linearni rovnici by vychazela konstatna v souctu pod odmocninou a prostor reseni by nebyl linearni. Ale jak vime a jak umime dokazat, tak prostor reseni linearni je :)
-------------------------------------------
„Poslouchej, tatínku,“ začala, když zavřela dveře, „pamatuj si jednou provždy, že tohle slovo nesmí se u nás ozvat! Kdyby tě teď byl slyšel Kája, kdyby tak, až vstane, řekl: ,Jak jste se vyspala, paní ?chýně?‘ přesto, že ho mám ráda jako Zdeňu, dala bych mu co proto! To víš, tatínku,“ nalaďuje paní lesní do „moll“, „ty to tak nemyslíš, ale což kdyby se Kája toho chytl? Heleď, udělám ti třebas tu držkovou k večeři, zrovna poběhne Týna do Lážova.“

Pavel Brožek · 01. 09. 2008 20:30

↑ kaja.marik:

Díky, že ses tomu věnoval, teď už to asi nevyřeším (zítra jdu na zkoušku a chci se ještě podívat na důležitější věci). Ale až budu mít po zkoušce tak to zkusim promyslet / najít na internetu a dam sem správný postup :-)

Pavel Brožek · 02. 09. 2008 22:09

Zápisem $\left(2F(t,y)\right)'|_{t=x}$ se tady myslí derivace podle x, ne podle t. Takhle je to zapsaný proto, aby t nebylo funkcí x a jeho derivace byla nula. Pak

$\left(F(t,y(x))\right)'=\frac{\partial F(t,y)}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial x}+\frac{\partial F(t,y)}{\partial y}y'=\frac{\partial F(t,y)}{\partial y}y'=f(t,y)y'$

A tedy

$\left(2F(t,y)\right)'|_{t=x}=2f(x,y)y'$

a je to tedy v souladu s předchozím

$2y'y''=2y'f(x,y)$ .

Problém je ale dále, když se totiž napíše

$(y')^2=2F(x,y)+C$ ,

je to jako kdybychom brali t=x při derivování a tedy t by záviselo na x. Pak ale $\frac{\partial t}{\partial x}\neq0$ a postup tedy není správný. Domnívám se, že tyto další kroky platí jen pro rovnici $y''=f(y)$ a jen jsem si to do sešitu zapomněl poznamenat. V Kopáčkově matematické analýze pro fyziky je toto pravidlo uvedeno pouze pro $y''=f(y)$ . Co jsem se díval na internet, tak se o rovnici $y''=f(x,y)$ psalo hlavně ve spojitosti s numerickými metodami, takže to asi tak jednoduché nebude.

Pavel Brožek

Po letech se vracím k tomuto problému, protože jsem dnes narazil na wikipedii (najdete v tabulce) na tvrzení, že řešením rovnice

$y''=f(x,y)$

je

$y=\pm\int^x\sqrt{2\int^yf(\lambda,\varepsilon)\d\varepsilon+C_1}\,\d \lambda + C_2.$

Vůbec nevím, jak tomu rozumět, když si zkusím takhle vyřešit např. rovnici $y''=y$ , dostávám nesmysly. Čekal jsem, že třeba po dosazení dostanu předpis pro funkci y v implicitním tvaru, ale nevychází to tak.

check_drummer · 09. 06. 2012 19:51

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, nevím jak rozumět zápisu: $\int^y$ - je zkrácení $\int^{y(x)}$ ? Ale i tak je ten vztah spíš funkcionální rovnice než explicitní předpis pro y.

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Ahoj, bohužel taky nevím, co se tím přesně myslí. Na wikipedii před tabulkou píšou:

the notation $\int^xF(\lambda)\d\lambda$ just means to integrate F(λ) with respect to λ, then after the integration substitute λ = x, without adding constants (explicitly stated).

Jak přesně s tím zacházat, když tam je jako horní mez y nevím.

Matematické Fórum

#1 30. 08. 2008 17:40

Postup řešení rovnice y''=f(x,y)

#2 01. 09. 2008 20:09 — Editoval kaja.marik (01. 09. 2008 20:17)

Re: Postup řešení rovnice y''=f(x,y)

#3 01. 09. 2008 20:30

Re: Postup řešení rovnice y''=f(x,y)

#4 02. 09. 2008 22:09

Re: Postup řešení rovnice y''=f(x,y)

#5 09. 06. 2012 19:40 — Editoval Pavel Brožek (09. 06. 2012 19:42)

Re: Postup řešení rovnice y''=f(x,y)

#6 09. 06. 2012 19:51

Re: Postup řešení rovnice y''=f(x,y)

#7 09. 06. 2012 19:56 — Editoval Pavel Brožek (09. 06. 2012 19:57)

Re: Postup řešení rovnice y''=f(x,y)

Zápatí