Matematické Fórum

Pavel Brožek · 01. 09. 2008 08:26

Pro které hodnoty parametru $\alpha\in[-\frac13, \frac23)$ konverguje řada funkcí

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}$

stejnoměrně na $[0,\infty)$ ?

Původní zadání bylo $\alpha\in\mathbb{R}$ , ale většinu už jsem vyřešil, zbývá mi už jen tento interval, na kterém nevím jak na to.

Marian · 02. 09. 2008 09:11 — Editoval Marian (02. 09. 2008 14:41)

Mohl bych se podívat na postup, který jsi použil? Stejnoměrná konvergence je jasná pro všechna alpha [-1/3,2/3) na (a,+oo), kde a>p>0. S tou nulou jsou drobné problémy, ale snad pomůže Abelovo kriterium stejnoměrné konvergence.

Pro $\alpha <-\frac{1}{3}$ je jistě zajištěna stejnoměrná konvergence, protože
$\sup_{x\in [0,\infty)}\nosmash\quad\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}=\frac{5^{5/6}}{6}\cdot\frac{1}{n^{2/3}}.$

Pro $\alpha\ge 3$ a $x\neq 0$ , je studovaná řada divergentní. Na další drobnosti jsem zatím neměl čas.

Pavel Brožek · 02. 09. 2008 15:34

Aby $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}$ konvergovala stejnoměrně, musí $f_n(x)=\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}$ konvergovat stejnoměrně do nuly. Protože

$\sup_{x\in[0,+\infty)}|f_n(x)|=f_n(\frac{1}{\sqrt[6]{5n^4}})=\frac{5}{6\sqrt[6]{5}}n^{\alpha-\frac23}$
tak pro $\alpha\geq\frac23$ nekonverguje řada stejnoměrně.

Protože $|f_n(x)|\leq f_n(\frac{1}{\sqrt[6]{5n^4}})$ , tak jestliže $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(\frac{1}{\sqrt[6]{5n^4}})$ konverguje, pak $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ konverguje stejnoměrně (Weierstrassova věta).

$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(\frac{1}{\sqrt[6]{5n^4}})=\frac5{6\sqrt[6]{5}}\sum_{n=1}^{\infty}n^{\alpha-\frac23}$

To znamená, že původní řada konverguje stejnoměrně pro $\alpha<-\frac13$ . Takže mi zbyl interval $\left[-\frac13,\frac23\right)$ . Pro $\alpha<3$ vím, že konverguje lokálně stejnoměrně na $(0,+\infty)$ , takže mi vlastně stačí ukázat stejnoměrnou konvergenci na $[0,\delta],\,\delta>0$ pro $\alpha\in\left[-\frac13,\frac23\right)$ . Jde mi právě o to okolí nuly :-)

Marian · 05. 09. 2008 13:53

↑ BrozekP:
Souhlasím s tím, co jsi napsal. Podařilo se mi najít cestu, jak dokázat, že pro $\alpha\ge 0$ studovaná nekonečná řada nekonverguje stejnoměrně. Bophužel nemám tolik času, abych to sem mohl dát. Pokusím se to sepsat zítra večer.

Navíc ta metoda bude fungovat i pro ostatní $\alpha\in[-\frac13, \frac23)$ . Takže zatím pouze předešlu, že uvedená nekonečná řada konverguje stejnoměrně pouze pro $\alpha <\frac{-1}{3}$ .

Pavel Brožek

↑ Marian:

Zkoušel jsem stejnoměrnou konvergenci vyvrátit Bolzano-Cauchyovou podmínkou, ale nedařilo se mi to. Když jsem si dnes přečetl tvůj příspěvek, tak jsem si řekl, že to ještě zkusím a najednou to jde :-)

Pro $\alpha\geq-\frac13$ ukážu platnost negace Bolzano-Cauchyovy podmínky pro stejnoměrnou konvergenci řady, tedy

$\exists \varepsilon>0 \,\forall k\in\mathbb{N}\,\exists n_0>k\,\exists p\in\mathbb{N}\,\exists x\in[0,\delta]:\nl \left|\sum_{n=n_0+1}^{n_0+p}\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}\right|\geq\varepsilon$

Zvolím $\varepsilon=\frac1{34}$ . Ke k najdu $n_0>k$ dostatečně velké, aby $\frac1{n_0}\in[0,\delta]$ . Dále zvolím $p=n_0^3$ a $x=\frac{1}{n_0^2}$ . Pak platí

$\left|\sum_{n=n_0+1}^{n_0+p}\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}\right|=\,\sum_{n=n_0+1}^{n_0+n_0^3}\,\frac{n^{\alpha+\frac13}\cdot n^{-\frac13}\cdot\frac{1}{n_0^2}}{\frac{n^4}{n_0^{12}}+1}\, \geq\,\sum_{n=n_0+1}^{n_0+n_0^3}\,\frac{n^{-\frac13}\cdot\frac{1}{n_0^2}}{\frac{n^4}{n_0^{12}}+1}\, \geq\,\sum_{n=n_0+1}^{n_0+n_0^3}\,\frac{(2n_0^3)^{-\frac13}\cdot\frac{1}{n_0^2}}{\frac{(2n_0^3)^4}{n_0^{12}}+1}\,=\nl =\,n_0^3\cdot \frac{(2n_0^3)^{-\frac13}\cdot\frac{1}{n_0^2}}{17}\geq n_0^3\cdot \frac{\frac{1}{2n_0}\cdot\frac{1}{n_0^2}}{17}=\frac1{34}=\varepsilon$

Na to, že $p=n_0^3$ a $x=\frac{1}{n_0^2}$ jsem přišel tak, že jsem počítal s $p=n_0^a$ a $x=\frac{1}{n_0^b}$ a jako jediné možné pak vyšlo $a=\frac32b$ , z toho jsem vybral $a=3,\,b=2$ .

A tenhle ošklivý příklad jsem měl v písemce na dvě hodiny s dalšíma třema příkladama (ty byly ale znatelně lehčí) :-) Takže bych odhadl, že bude i jednodušší řešení.

Děkuji za spolupráci s řešením a pokud to řešíš jinak, budu rád, když se s postupem zítra podělíš.

Marian · 06. 09. 2008 23:54 — Editoval Marian (07. 09. 2008 13:03)

↑ BrozekP:
Celkem jednoduše jsem tvůj interval [-1/3,2/3) zredukoval na [-1/3,0). Pro interval [0,2/3) jsem využil toho, že pokud označíme
$f_{\alpha}(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1},$
pak je $f_{\alpha}(0)=0$ . Předpokládaje stejnoměrnou konvergenci pro $\alpha\in\left [0,\frac{2}{3}\right )$ na intervalu $[0,\infty )$ , musí platit
také
$\lim_{x\to 0^+}f_{\alpha}(x)=0.$
Relativně snadno se dá ukázat spor tím, že se ověří fakt, že
$\frac{1}{n^4x^6+1}>\frac{1}{(n+1)^4x^6+1},\qquad \forall x\in (0,\infty ),\quad\forall n\in\mathbb{N}.$
Pak platí pro $\alpha\in\left [0,\frac{2}{3}\right )$ odhad (beru čísla x z intervalu (0,+oo))
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}\ge\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n^4x^6+1}\ge -x+x\int_{0}^{\infty}\frac{1}{z^4x^6+1}\,\mathrm{d}z=-x+\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2}{x}}.$
Odtud
$\lim_{x\to 0^+}\left (-x+x\int_{0}^{\infty}\frac{1}{z^4x^6+1}\,\mathrm{d}z\right )=\infty\neq \lim_{x\to 0^+}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{xn^{\alpha}}{n^4x^6+1}=0,$
což je jasný spor s předpokládanou stejnoměrnou konvergencí.

Marian · 07. 09. 2008 02:46 — Editoval Marian (07. 09. 2008 14:04)

↑ BrozekP:

Skutečně hezký výpočet. Nevím sice, jak jsi obeznámen s aplikací teorie reziduí pro výpočet některých speciálních (ne)vlastních reálných integrálů, ale např. pro $\alpha\in\left [-\frac{1}{3},0\right )$ platí
$\int_{0}^{\infty}\frac{z^{\alpha}}{z^4x^6+1}=\frac{\pi x^{-\frac{3}{2}\left (\alpha +1\right )}}{4\cos\left (\frac{\pi}{4}-\frac{\pi\alpha}{4}\right )}.$

Protože posloupnost funkcí
$\left\{ \frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}\right \}_{n=1}^{\infty},\qquad \alpha\in \left [-\frac{1}{3},0\right ),$
je klesající posloupnost pro libovolné kladné x, máme odhad (O) (pro zmiňovaná x a $\alpha$ )

kde C je nenulová konstanta nezávisící ani na x ani na alpha
Sporem předpokládejme, že nekonečná řada funkcí
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{xn^{\alpha}}{n^4x^6+1},\qquad\alpha\in\left [-\frac{1}{3},0\right ),$
stejnoměrně konverguje na [0,+oo). Pak platí
$\lim_{x\to 0^+}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{xn^{\alpha}}{n^4x^6+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to 0^+}\frac{xn^{\alpha}}{n^4x^6+1}=0.$
Ale to je spor, nebo? je jistě podle (O)
$\lim_{x\to 0^+}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{xn^{\alpha}}{n^4x^6+1}>0.$

Pavel Brožek · 07. 09. 2008 12:44

Tento odhad mi není jasný:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n^4x^6+1}\ge x\int_{0}^{\infty}\frac{1}{z^4x^6+1}\,\mathrm{d}z$

Nemělo by být spíš

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n^4x^6+1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{n^4x^6+1}-x\ge -x + x\int_{0}^{\infty}\frac{1}{z^4x^6+1}\,\mathrm{d}z=-x+\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2}{x^3}}$ ?

Zde to nemění výsledek, ale pro záporná alfa by neplatil odhad

$\lim_{x\to 0^+}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\alpha}x}{n^4x^6+1}\ge \lim_{x\to 0^+}x\cdot\int_{0}^{\infty}\frac{z^{\alpha}}{z^4x^6+1}\mathrm{d}z$

Jinak mi je vše jasné až na výpočet toho integrálu pomocí teorie reziduí, tu budeme brát až tento rok v letním semestru. Zkusím se na to ale trochu podívat už teď.

Marian · 07. 09. 2008 12:59 — Editoval Marian (07. 09. 2008 14:07)

↑ BrozekP:

Ano, má to tak skutečně být. Asi jsem v noci posouval obdélníčky na jinou stranu, než bylo potřeba. 6e to nemá v tomto případě vliv na výsledek je jasná věc. Provedu editaci.

Teorie reziduí je velice zajímavá věc a především mocný prostředek na vyřešení mnoha problémů reálné analýzy. Mám pocit, že skutečná matematika začíná až v komplexní analýze. Sám to poznáš. Já jsem neměl tolik "štěstí" při jejím studiu. Musel jsem si ji nastudovat sám. No ale s odstupem času to hodnotím tak, že právě ono samostudium komplexní analýzy bylo š?astnou volbou. Jen je třeba šáhnout po kvalitní literatuře.

Celkem by mě zajímalo, jak se to dá spočítat jedodušeji. Více se mi líbí tvé řešení.

PS: Budu to muset ještě doplnit lépe. Zatím nemám čas, ale budu se snažit.

Matematické Fórum

#1 01. 09. 2008 08:26

Stejnoměrná konvergence řady

#2 02. 09. 2008 09:11 — Editoval Marian (02. 09. 2008 14:41)

Re: Stejnoměrná konvergence řady

#3 02. 09. 2008 15:34

Re: Stejnoměrná konvergence řady

#4 05. 09. 2008 13:53

Re: Stejnoměrná konvergence řady

#5 05. 09. 2008 16:49 — Editoval BrozekP (07. 09. 2008 00:52)

Re: Stejnoměrná konvergence řady

#6 06. 09. 2008 23:54 — Editoval Marian (07. 09. 2008 13:03)

Re: Stejnoměrná konvergence řady

#7 07. 09. 2008 02:46 — Editoval Marian (07. 09. 2008 14:04)

Re: Stejnoměrná konvergence řady

#8 07. 09. 2008 12:44

Re: Stejnoměrná konvergence řady

#9 07. 09. 2008 12:59 — Editoval Marian (07. 09. 2008 14:07)

Re: Stejnoměrná konvergence řady

Zápatí