Matematické Fórum

middlesboro · 01. 09. 2008 10:37

na skuske nam dal profesor takyto priklad : Najdite rozmery bazena tvaru kvadra, tak aby bola pri danom objeme V najmensia spotreba materialu(najmensi povrch). to je vsetko ziadne cisla. neviete niekto co s tym ?

kaja.marik · 01. 09. 2008 11:21

rozmery bazenu: a, b, c=V/(a*b) - c je hloubka

najdete minimum funkce dvou promennych f(a,b)=a*b+2*a*c + 2*b*c

ze symetrie lze odhadnout ze a=b a potom to prejde na funkci jedne promenne

myslim ze to bude i nekde v historii fora.

Chrpa · 20. 09. 2008 10:59 — Editoval Chrpa (20. 09. 2008 17:22)

↑ middlesboro:
I když už je příklad starý, přesto se pokusím reagovat:
Při rozměrech bazénu a,b,c kde c je hloubka platí:
V = abc
S = ab + 2c(a+b) ....... min. (kvádr bez horní podstavy)
Aby byl povrch bazénu minimální pak obsah dna (povrch) ab a zároveň obvod dna 2(a+b) musí být minimum.
Pokud obsah dna označím jako P pak dostaneme:
P = ab
b = P/a
Dále víme, že 2(a+b) minimum
$2(a+b)=2a+\frac{2P}{a}\rightarrow\,min$ fci zderivujeme dle a a položíme rovnu 0
$2-\frac{2P}{a^2}=0\nl2a^2=2P\nla=\sqrt P$ dopočteme rozměr b
$b=\frac{P}{a}\nlb=\frac{P}{\sqrt P}\nlb=\sqrt p\nla=b$
Vidíme, že aby byl povrch bazénu při známém objemu minimální musí mít bazén "čtvercové" dno.
Teď nám řešení přejde na tvar:
$V=a^2\cdot c\nlc=\frac{V}{a^2}$
$S=a^2+\frac{2V}{a^2}\cdot 2a\,\rightarrow\,min$
$S=a^2+\frac{4V}{a}\,\rightarrow\,min$ fci zderivujeme dle a a položíme rovno nule.
$S^'=2a-\frac{4V}{a^2}=0\nla^3=2V\nla=\sqrt[3]{2V}\nlb=\sqrt[3]{2V}$ dopočteme rozměr c (hloubku bazénu)
$c=\frac{V}{a^2}\nlc=\frac{V}{\sqrt[3]{(2V)^2}$
$c=\frac12\cdot\sqrt[3]{2V}$

Rozměry bazénu tedy budou:
$a=\sqrt[3]{2V}\nlb=\sqrt[3]{2V}\nlc=\frac12\cdot\sqrt[3]{2V}$

Matematické Fórum

#1 01. 09. 2008 10:37

rozmery bazena

#2 01. 09. 2008 11:21

Re: rozmery bazena

#3 20. 09. 2008 10:59 — Editoval Chrpa (20. 09. 2008 17:22)

Re: rozmery bazena

Zápatí