Matematické Fórum

Yuyik · 21. 12. 2011 11:45

Zdravím,
mám problém s úlohou z teorie čísel:

Jaké je největší přirozené číslo, které je dělitelem každého přirozeného čísla tvaru
$n^{5}-n$ ?

Vyučující to částečně začal řešit. Řekl, že si udělal hypotézu, že je to číslo 30. Jenže nevím, jak k ní došel. No a pak dokazoval, že $30\mid n^{5}-n$ . Napsal si, že $30 = 2\cdot 3\cdot 5$ a dělitelnost dokazoval pro každé číslo. Vím, jak dokázat, že je to dělitelné 2 i 3 (vyjde, že 3 to dělitelné není), ale nevím, jak dokázat dělitelnost 5 toho výrazu.

Každopádně nejsem si jistá, jak pokračovat, když jsem zjistila, že 30 to není. Brát dál další čísla a pro každé to dokazovat?

Díky za pomoc.

vanok · 21. 12. 2011 12:00

Ahoj ↑ Yuyik:,
pouzi na to rozklad na sucin tvojho vyrazu $n^{5}-n$ .
Nemozes mat vadcieho spolocneho delitela pre vsetki n, ako 30 , lebo pre n=2 mas 32-2=30

Andrejka3

Skrývám nápovědu a opouštím téma pro duplicitu.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Yuyik · 21. 12. 2011 12:10

Aha, děkuji.

vanok · 21. 12. 2011 12:29

↑ Yuyik:,
este dalsi HINT
$30 =2*3*5$
Tak staci dokazat (preco???) delitelnost 2my, 3my &c 5my.

Yuyik · 21. 12. 2011 12:53

↑ vanok:¨
počkej, ty se ptáš, proč stačí dokázat, že 5, 3 a 2 dělí n^5 - n, když předpokládám, že 30 dělí n^5 - n??

vanok · 21. 12. 2011 14:48 — Editoval vanok (21. 12. 2011 14:48)

↑ Yuyik:,
Ano, na to ze staci ukazat ze je to 30, som ti uz napisal preco.
Ale ze staci na to dokazat co som napisal vyssie je to pretoze....
To je moja jednoducha otazka!
Poznamka:
Akoze vzdy je viacej metod jeden iny dokaz je ukazat ze nejakeho cislo a jeho 5ta mocnina sa koncia na to iste cislo... Co ti da delitwelnost 10timy. A ked dokazes este delitelnost 3-my mas dalsi dokaz.
Ina metoda: Rekurencia.

Yuyik · 21. 12. 2011 16:04

↑ vanok:
Promiň mojí natvrdlost. Z toho, co jsi napsal jsem pochopila, že nemůže být větší dělitel než 30, ale může být i menší. Proto, že nejvyšší možný dělitel může být 30, tak začnu dokazovat, jestli je to 30 dělitelné. Nevím, jak ti mám vysvětlit, že když je číslo dělitelné 2 a zároveň 3 a zároveň 5, že je tím pádem dělitelné 30. Na to nejsem asi dost dobrá matematička, prostě vím, že to tak je. Ale zkusím to:

Když je číslo dělitelné 30, tak končí nulou, tím pádem je dělitelné 5 a 2 taktéž (je sudé). 30 je násobek 3, tudíž je dělitelné 3.

Podle mého počítání výraz $n^{5}-n$ ale není dělitelným 3 protože:

$n^{5}-n = n\cdot (n^{4}-1) = n\cdot (n^{2}-1)\cdot (n^{2}+1)=n\cdot (n-1)\cdot (n+1)\cdot (n^{2}+1)$

To znamená, že to jsou 3 po sobě jdoucí čísla (to znamená, že by to 3 dělitelné bylo) krát $(n^{2}+1)$ , tudíž to dělitelné 3 není, ale mohu se mýlit.

vanok · 21. 12. 2011 16:49 — Editoval vanok (21. 12. 2011 16:51)

[re]p245462|Yuyik[/rE]

ANO TO SI DOBRE POCHOPILA teoreticky moze byt mensi...( ale vsetki pripadne riesenia musia byt delitelmy cisla 30)
Tak skusle dokazat ze to cislo je delitelne 30my, ak nebude uvidime v dokaze ... a bude treba skusit nieco ine

Co sa tyka delitelnosti 3my
Staci si vsimnut ze v tvojom rozklade co si napisala mas $(n-1)n(n+1)$
a to je sucin troch po sebe iduciych cisiel a tak jedno z nich je nutne delitelny 3my!!!
Vidis to?
priklad 1.2.3 , 7.8.9,......

Ak chces ukazat tu metodu ze $n^5$ a $n$ maju rovneku poslednu ciclicu
NA to staci urobit tabulku

Prvy riadok cisla od 0 do 10

druhy riadok posledna cislica z $n^5$ od $0^5$ do $10^5$

Yuyik · 21. 12. 2011 20:03

↑ vanok:
Už mi svitlo, jsem blbá. Někdy fakt nechápu, jak přemýšlím. Už mi docvaklo, že v tom rozkladu jsou 3 po sobě jdoucí čísla, tudíž jedno je nutně dělitelné 3 tudíž celé $n^{5}-n$ je dělitelné 3.
Moc děkuji za trpělivost :-)

Matematické Fórum

#1 21. 12. 2011 11:45

Teorie čísel

#2 21. 12. 2011 12:00

Re: Teorie čísel

#3 21. 12. 2011 12:01 — Editoval Andrejka3 (21. 12. 2011 12:02)

Re: Teorie čísel

#4 21. 12. 2011 12:10

Re: Teorie čísel

#5 21. 12. 2011 12:29

Re: Teorie čísel

#6 21. 12. 2011 12:53

Re: Teorie čísel

#7 21. 12. 2011 14:48 — Editoval vanok (21. 12. 2011 14:48)

Re: Teorie čísel

#8 21. 12. 2011 16:04

Re: Teorie čísel

#9 21. 12. 2011 16:49 — Editoval vanok (21. 12. 2011 16:51)

Re: Teorie čísel

#10 21. 12. 2011 20:03

Re: Teorie čísel

Zápatí