Matematické Fórum

babca · 21. 12. 2011 18:31

$\text{Bud G grupa, H jeji podgrupa a } \varphi: G -> K \text{ je homomorfismus} \Rightarrow [\varphi(G) : \varphi(H) ] \text{ deli } [G:H]$ Jako napovedy je pouziti vet o izomorfismu (1,2,3), ale vybec netusim jak zacit. Respektive jak prevest index na neco rozumnejsiho?

vanok · 21. 12. 2011 21:41

Ahoj ↑ babca:,
Ano v teorii grup sa tak volaju teoremy isomorfismu tri teoremy od Emmy Noether.
http://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphis … _theorems.

Za urcitych podmienok by si mohol pouzit tretiu teoremu homomorfizmu... ale tie podmienky sa nezdaju tu byt splnene....

babca · 21. 12. 2011 22:21 — Editoval babca (21. 12. 2011 22:25)

Vsechny ty tri vety znam. Treti veta (na wiki je uvedena jako druha) by se mela dat pouzit (vezmeme-li jako normalni podgrupu Ker f) a dostaneme nejaky izomorfizmus, ze kteryho neumim dostat ten index :(

vanok · 21. 12. 2011 22:31 — Editoval vanok (21. 12. 2011 22:32)

↑ babca:,
Tretia z wiki... ale nemas zarucene ze $H$ a $\varphi( H)$ su normalne podgrupy pre $G$ a $K$ respektivne.
Je to cely text, co si napisal vyssie?

babca · 21. 12. 2011 22:42

http://www.ulozto.cz/11944280/7-ukol-pdf pardon, ze je to takhle pres ulozto. Myslim ze jsem nic nevynechal.

vanok · 21. 12. 2011 23:06 — Editoval vanok (21. 12. 2011 23:13)

↑ babca:,
ano dobre si to prepisal, az na to ze si zabudol ze G je konecna
TO MENI VELA NA VECI... a to mozne dokazat i ked je to je trochu komplikovane

Tu mas este nieco o indexoch.
http://en.wikipedia.org/wiki/Index_of_a_subgroup
Mozno vas prof. chce aby ste nasli co tam chyba v tom cviceni?

Zajtra ti dam indikacie.

babca · 21. 12. 2011 23:15 — Editoval babca (21. 12. 2011 23:25)

$N = \text{ Ker } \varphi \text{ N je normalni v G}$
$HN = NH \wedge (H \cap N) \text{ je normalni v } G$

Pak NH/H je izomorfni N/(H prunik N)

Toto je z 3 vety o izomorfizmu.

Dale muzem uvazovat f': H -> f(H) a M = Ker f' je normalni v H (a tedy v i v G [?Opravdu?]), tedy mame dve normalni podgrupy v G - N a M

Prusvih je, ze nemam jak z toho dostat ty indexy podgrupy v grupe :(

Pozn: Plati [G:H] = [f(G) : f(H)] * [Ker f : Ker f prunik H] (zjisteno ze 70 let stare knizky, bohuzel bez dukazu :(, ale s **)

vanok · 22. 12. 2011 12:20

↑ babca:,

Kniha z terie grup po 1950 je stale moderna, tak si tu tvoju nechaj na cestnom mieste. (Povedzme, ze v 1941, Birkhoff a MAc Lane napisali knihu A Survey of Modern Algebra, ktora zaviedla nase znacenia.... a od vtedy na taketo zakladne otazky sa vela nezmenilo)

Co sa tyka tvojho cvicenia
:Znacme zakon grupy G, . a tak neutralny prvok znacme 1.
Klucova myslienka je
$[ \varphi (G): 1 ]= [G: N]$ , kde $N= ker \varphi$
lebo $\varphi (G)$ je isomorfne z $\frac GN$
Restrikcia $\varphi$ na $H$ , $\varphi | _H$ ma $Ker \varphi | _H = H \cap N$ ,

$[ \varphi (G) : \varphi (H)]=\frac { | \varphi |G|)}{ | \varphi |H|}=....$

Verim ze to uz sam dokoncis!

poznamka $|G|$ znaci rad $G$

Dobre pokracovanie.