Matematické Fórum

miso16211

Nájdite všetky funkcie f : $R \Rightarrow R$ také, pre pre všetky reálne čísla x, y platí :

$f(x + y) + 2.f(x- y) + f(x) + 2.f(y) = 4x + y$

Urobte skúšku správnosti.

Moje riešenie :

$f(x + y) + 2.f(x- y) + f(x) + 2.f(y) = 4.x + y$

ak y = 0, tak

$f(x+0) + 2.f(x-0) + f(x) + 2.f(0) = 4.x + 0$
$f(x) + 2.f(x) + f(x) + 2.f(0) = 4.x$
$4.f(x) + 2.f(0) = 4.x / - 2.f(0)$
$4.f(x) = 4.x - 2.f(0) /4$
$f(x) = x - 0,5.f(0)$

ak
$c = f(0)$

tak

$f(x) = x - 0,5.c$

Dá sa to upraviť tak, žeby c bola nejaká konkrétna hodnota?

Co dosadim za c pri skúške ? dosadim za x = 0, vyjde $f(0) = -0,5.f(0)$ . Nevím. Dekuji.

Tá bodka je krát.

Prvý úloha po e, http://kms.sk/docs/funkcionalky.pdf , sa som pochopil 2f(x+y) jako 2.f(x+y)

Prepač Jelena.

jelena · 25. 12. 2011 20:18

Zdravím, Mišo,

prosím, nepiš mi PM. Pokud potřebuješ něco prokonzultovat, umísťuj své úlohy sem, na fórum. Je čas svátků a prázdnin, tedy spíš předpokládej, že se kolegové (i já) věnuji relaxování mimo počítač.

Z Tvého zadání nejsem příliš moudra - je kompletní (i s textovým úvodem)? Co znamená barevně vyznačená část v zápisu:

f(x + y) + 2f(x y) + f(x) + 2f(y) = 4x + y

Pokud jsi něco počítal, napiš, prosím, celý postup, nejen to, co vyšlo. Děkuji, měj se.

miso16211 · 25. 12. 2011 21:24

zmeneno,

jelena · 25. 12. 2011 23:23

↑ miso16211:

Děkuji, Mišo, za opravu úvodního tématu. Už je to srozumitelné :-)

Já bych zkoušela takové body: $x=y=0$ , tedy $f(0)=0$ , potom $x=y$ a $x=-y$ . To se mi zdá, že by postačilo, ale do konce jsem nepočítala.

Jelikož řešíš (cvičíš) podklady k KMS, téma přesunu do "Zajímavých pro SŠ", věřím, že se dostane dobrých rad od zkušenějších kolegů. Zdar v přípravě a řešení aktuálního tématu přejí.

úprava (26.12.2011, 0:15) - opraven argument f(0) - dle upozornění kolegy Jarrro, děkuji.

jarrro · 25. 12. 2011 23:59 — Editoval jarrro (26. 12. 2011 00:01)

↑ miso16211:zistil si,že tá funkcia musí byť v tvare $x+k$ teda dosadíš
$x + y+k + 2(x- y+k) + x+k + 2(y+k) = 4x + y\nl x+y+k+2x-2y+2k+x+k+2y+2k=4x+y\nl$ má to platiť pre každú dvojicu x,y teda aj keď sú obidve nuly teda k musí byť nula
teda tá funkcia je $f{\left(x\right)}=x$
↑ jelena: je to úloha na funkciu jednej premennej prečo tam máš ako argument dvojicu?

jelena · 26. 12. 2011 00:15

↑ jarrro:

děkuji, opravím (proč? - to netuším - zřejmě z údivu, že bych měla příspěvek v sekci Zajímavých - jinak to neumím vysvětlit :-).

miso16211 · 26. 12. 2011 08:15

ja som z toho jeleň

↑ jelena:

veď za x z y v $f(x + y) + 2.f(x- y) + f(x) + 2.f(y) = 4x + y$ môžeme dosadiť rôzne čísla, nezavisle od seba.
ak y=x=0 vyjde
$f(0)=0$

podla toho vem urcit ze $f(x) = x - 0,5.f(0)$ = $f(x) = x$

neviem prečo by to tak nemohlo byť.

↑ jarrro:

no podla tvojeho akože na jednej strane mam $4x+y+6k=4x+y$ a aby to bola rovnost stacilo by aby k = 0

potom funkcia je $f(x) = x$

Podľa mňa mate obidvaja pravdu.

jarrro · 26. 12. 2011 12:41

↑ miso16211:nie len stačí,ale je aj nutné ak to má byť splnené pre všetky x aj y

Matematické Fórum

#1 25. 12. 2011 14:37 — Editoval miso16211 (25. 12. 2011 21:06)

funkcionalna rovnica - vyjadrená c

#2 25. 12. 2011 20:18

Re: funkcionalna rovnica - vyjadrená c

#3 25. 12. 2011 21:24

Re: funkcionalna rovnica - vyjadrená c

#4 25. 12. 2011 23:23

Re: funkcionalna rovnica - vyjadrená c

#5 25. 12. 2011 23:59 — Editoval jarrro (26. 12. 2011 00:01)

Re: funkcionalna rovnica - vyjadrená c

#6 26. 12. 2011 00:15

Re: funkcionalna rovnica - vyjadrená c

#7 26. 12. 2011 08:15

Re: funkcionalna rovnica - vyjadrená c

#8 26. 12. 2011 12:41

Re: funkcionalna rovnica - vyjadrená c

Zápatí