Matematické Fórum

Ahoj.
Dostal jsem za úkol z algebry dokázat, že pokud je regulární matice, tak v každém konečném tělese existuje takové přirozené číslo n, že .
Je mi jasné, že jelikož je regulární matice nad konečným tělesem, tak musí být přirozené číslo mezi 1 a p-1, kde p je charakteristika tělesa. Také si myslím, že když umocním libovolnou matici na n-tou, tak její determinant se také umocní na n-tou (nevím však, jak toto dokázat, jen si to myslím).
Takže tím jsem snad úlohu převedl na důkaz, že v každém tělese pro všechna čísla mezi 1 a p-1 existuje takové n, že ono číslo umocněné na n-tou rovná se jedna. Jak mám však dokázat toto? Jdu na to správnou cestou?
Řekl bych, že důkaz nebude moc složitý, ale už drahnou dobu si lámu hlavu tím, jak to dokázat.
Díky moc za rady.