Matematické Fórum

Lerion · 29. 12. 2011 18:12

Zdravím, potřeboval bych poradit s jedním příkladem, nějak si s ním nevím rady.
Příklad:
Napište rovnici kružnice, které prochází bodem N (1;1) a dotýká se daných přímek p1: x+y-6=0 , p2: x+y+2=0

Je vidět, že přímky jsou na sebe kolmé a liší se o c, takže o hodnotu 8...No a nějak dál nevím co, kružnice bude někde mezi nima a bude procházet bodem N. Víc si ale neokážu odvodit.
Byl bych moc vděčný za radu :) Díky!

vanok · 29. 12. 2011 18:19 — Editoval vanok (29. 12. 2011 18:20)

Ahoj ↑ Lerion:,

Male poznamky
Priamky
p1: x+y-6=0 , p2: x+y+2=0 , nie su kolme ale parallelne,
cvicenie ma dve riesenia,
stred kruznice je na priamke p3: x+y -2=0
Je jednoduche najt priemer hladanej kruznici.

Lerion · 29. 12. 2011 18:24

↑ vanok:
Promin, myslel jsem rovnoběžné, blbě jsem to napsal :) Díky, už možná vím, kdyžtak ještě napíši :)

Lerion · 29. 12. 2011 18:45

↑ vanok:
Stále mi to nevychází, průměr je stálě špatně, vychází mi 4, ale 4 to být nemá :-/

Phate · 29. 12. 2011 18:57

↑ Lerion:
4 je polomer

Cheop · 29. 12. 2011 19:17

↑ Phate:
Mě tedy poloměr vychází: $r=2\sqrt 2$

Lerion · 29. 12. 2011 19:24

↑ Cheop:
Ano, takový má být poloměr, jak si na něj přišel prosím? :)

Cheop · 29. 12. 2011 20:36 — Editoval Cheop (29. 12. 2011 21:24)

↑ Lerion:
1) Urči rovnici přímky, která je rovnoběžná se zadanými přímkami a prochází bodem N (na této přímce bude střed hledané kružnice)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2) Urči rovnici přímky, která je kolmá na tuto přímku a prochází bodem N

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

3) Urči souřadnice průsečíku této kolmice např. s přímkou p_1

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

4) Vzdálenost tohoto bodu od bodu N bude hledaný poloměr

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

5) Střed hledané kružnice bude mít tu samou vzdálenost od bodu N. Bude ležet na kružnici se středem v bodě N

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

6) Hledaný střed kružnice bude průsečíkem kružnice z bodu 5) a přímky p_3 z bodu 1)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

7) Určíš rovnici kružnice (máš střed i poloměr)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Obrázek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 29. 12. 2011 21:03

↑ Lerion:,
Len mala poznamka:
tvoje priamky su paralelne z osou prveho -tretieho kvadrantu
cize maju ( v pozitivnej orientacii) uhol 45° z osou x.
na vzdialenost dvoch paralelnych priamok mozes pouzit bod jednej priamku a jeho kolmu projekciu na druhu
Tuto myslienku vyuziva dokonale kolega↑ Cheop:, zo sikovnym vyberom priamky $p_4$

Pozor: este musis najst rovnice kruznic co vyhovuju ulohe.

Su dve: PRECO?
A v tomto pripade sa dotykaju! PRECO?

Lerion · 29. 12. 2011 22:25

↑ Cheop:↑ vanok:
Děkuji mnohokrát! :)
Mají dvě řešení, protože tomu úloha tak nasvědčuje? :) Jelikož může střed být jak více vpravo a nebo více nalevo....abych se přiznal tak ten odborný název pro to neznám O:)
Jen mám ještě malý dotaz, v zadání nebylo psáno, že na přímce, která je rovnoběžná s přímkami p1 a p2 leží i bod N ... Že tam leží střed to je jasné, ale ten bod vlastně neumím zdůvodnit, proč tam leží ...

Cheop · 29. 12. 2011 22:38 — Editoval Cheop (29. 12. 2011 22:39)

↑ Lerion:
Aby se ta hledaná kružnice dle zadání dotýkala přímek p_1 i p_2 a zároveň procházela bodem N,
potom i ten bod N musí ležet na stejné přímce jako střed hledané kružnice. Vzdálenost bodu N
od uvedených přímek musí být poloměr hledané kružnice.

PS Podívej se na obrázek z mého předchozího příspěvku a uvidíš, že kružnice jsou dvě.

Lerion · 29. 12. 2011 22:54

↑ Cheop:
Ano, ten obrázek jsem viděl, děkuji! :) Teď dumám nad ještě jedním příkladem, takže se tu možná ještě dneska objeví nové téma :D Také na kružnici

Lerion · 29. 12. 2011 23:03

↑ Cheop:↑ Lerion:
A nebo když je to stejné téma, tak to prdnu sem.
Napište rovnici kružnice, která prochází body E (3,2), F (1,4) a dotýká se osy x

Můj rozbor:
Přišel jsem na to, že tečna (přímka) bude y=0. Nemílím se?
Dál mám dva body, které spojuje kružnice. Jenže když si každou dosadím do středového vzorce, tak mi stejně nic kloudného nevyjde, na to bych potřeboval třetí bod.
Ten bych mohl získat tím, že vím, že jeho y souřadnice bude rovna 0. Jak ale zjistím x? Jsem zase docela ztracen :-/

vanok · 29. 12. 2011 23:32

Na tomto obrazku :

http://www.cabri.net/abracadabri/GeoPla … T1D2Pa.gif

plati $IN^2=IM^2= IA.IB$

Vyuzi to a najdi riesenie(a) problemu. ( aku velmi znamu geometricku vetu to illustruje?)

Na buduce: jedno tema = jeden problem

Lerion · 30. 12. 2011 00:28

↑ vanok:
Jo promiň, budu si to pamatovat :)
Já si vybavuji jen 2 geometrické věty, Pythagorovu a Sinovu.
A nějak jsem se v tom ztratil. Půjdu spát, zkusím to projet ještě zítra. Jak se říká, ráno moudřejší večera :)

Cheop · 30. 12. 2011 08:59 — Editoval Cheop (30. 12. 2011 12:45)

↑ Lerion:
V sovislosti s touto úlohou pouvažuj:
1) Když bude mít hledaná kružnice střed S=(m; n) jaký bude poloměr
kružnice pokud se tato má dotýkat osy x
Touto úvahou bys měl získat 3-tí potřebnou rovnici pro řešení úlohy.

Mělo by Ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Lerion · 30. 12. 2011 13:24

↑ Cheop:
Že poloměr se bude rovnat souřadnici n
Vím:
$(3-m)^2 + (2-n)^2 = r^2 (n^2)$
$(1-m)^2 + (4-n)^2 = r^2 (n^2)$
Tohle jsou ty 2 body, který znám
A ten třetí:
$(x-m)^2 + (0-n)^2 = r^2 (n^2)$
Je to takhle správně?

Cheop · 30. 12. 2011 13:39 — Editoval Cheop (30. 12. 2011 13:50)

↑ Lerion:
Třetí rovnice bude: $n^2=r^2$
Výpočet

vanok · 30. 12. 2011 14:04 — Editoval vanok (30. 12. 2011 15:48)

Ahoj,
tu mas este nieco o vete co som ti dal vcera

http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Za … cnost.html

Inac jej pouzitie ti da jednoducho treti bod kruznice co hladas
Metoda
1) najdi I
2) pouzi $IN^2=IM^2= IA.IB$ a urci body M, N
3) kruznice co hladas su urcene bodmy A, B , M
a A, B , N
Mozno je pre teba jednoduchsie najst rovnicu kruznice iducu cez tri body
Ak ano, pouzi tuto metodu.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Lerion · 30. 12. 2011 14:04

↑ Cheop:
Dosadím za $r^2$ $n^2$ . Tím pádem se zbavím $n^2$ v rovnicích a odečtu i $m^2$
Vyjádřím tedy celkově například n, které pak dosadím zpátky do prvních dvouch rovnic?
To mi ale vycházejí jiná čísla :-/

Cheop · 30. 12. 2011 14:56 — Editoval Cheop (31. 12. 2011 13:59)

↑ Lerion:
1)
$(3-m)^2+(2-n)^2=r^2\\m^2+n^2-6m-4n+13=r^2$
2)
$(1-m)^2 + (4-n)^2 = r^2 \\m^2+n^2-2m-8n+17=r^2$
Te'd rovnici 1) odečteme od rovnice 2)
3)
$-m^2-n^2+6m+4n-13=-r^2\\m^2+n^2-2m-8n+17=r^2\\4m-4n+4=0\\4m=4n-4\\m=n-1$
Rovnici 3) dosadíme do 1) a dostaneme:
$(3-(n-1))^2+(2-n)^2=r^2\\(4-n)^2+(2-n)^2=n^2\\n^2-8n+16+n^2-4n+4=n^2\\n^2-12n+20=0\\(n-2)(n-10)=0$ tady jsem využil toho, že $n^2=r^2$
$n_1=2\\n_2=10$
$m=n-1\\m_1=1\\m_2=9$
$r=n\\r_1=2\\r_2=10$
Máme vypočítáno
$(m;\,n;\,r)=(1;\,2;\,2)\cup (9;\,10;\,10)$
Nyní už jen sestavíme rovnice kružnic. (Máme souřadnice středu a poloměr)

Lerion · 04. 01. 2012 18:30

↑ Cheop:
Děkuji moc! Chyba byla v tom, že já už měl dosazené $n^2$ za $r^2$ už na začátku :)

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2011 18:12

Analytická geometrie - kružnice

#2 29. 12. 2011 18:19 — Editoval vanok (29. 12. 2011 18:20)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#3 29. 12. 2011 18:24

Re: Analytická geometrie - kružnice

#4 29. 12. 2011 18:45

Re: Analytická geometrie - kružnice

#5 29. 12. 2011 18:57

Re: Analytická geometrie - kružnice

#6 29. 12. 2011 19:17

Re: Analytická geometrie - kružnice

#7 29. 12. 2011 19:24

Re: Analytická geometrie - kružnice

#8 29. 12. 2011 20:36 — Editoval Cheop (29. 12. 2011 21:24)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#9 29. 12. 2011 21:03

Re: Analytická geometrie - kružnice

#10 29. 12. 2011 22:25

Re: Analytická geometrie - kružnice

#11 29. 12. 2011 22:38 — Editoval Cheop (29. 12. 2011 22:39)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#12 29. 12. 2011 22:54

Re: Analytická geometrie - kružnice

#13 29. 12. 2011 23:03

Re: Analytická geometrie - kružnice

#14 29. 12. 2011 23:32

Re: Analytická geometrie - kružnice

#15 30. 12. 2011 00:28

Re: Analytická geometrie - kružnice

#16 30. 12. 2011 08:59 — Editoval Cheop (30. 12. 2011 12:45)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#17 30. 12. 2011 13:24

Re: Analytická geometrie - kružnice

#18 30. 12. 2011 13:39 — Editoval Cheop (30. 12. 2011 13:50)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#19 30. 12. 2011 14:04 — Editoval vanok (30. 12. 2011 15:48)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#20 30. 12. 2011 14:04

Re: Analytická geometrie - kružnice

#21 30. 12. 2011 14:56 — Editoval Cheop (31. 12. 2011 13:59)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#22 04. 01. 2012 18:30

Re: Analytická geometrie - kružnice

Zápatí