Matematické Fórum

U_S_O · 10. 09. 2008 13:04 — Editoval U_S_O (10. 09. 2008 13:05)

no mám tu ešte jeden príklad, dvojný integrál :

$\int_{\pi}^{\frac{3\pi}2}\int_0^2((\rho^2)*(cos(\phi)))d\rho d\phi$

je to už po úprave cez polárne súradnice a výsledok mi vyšiel :

$(8*\sqrt2)/6$

dvojný integrál sa používa na výpočet napríklad obsahu...toto som som vlastne vypočítal obsah štvr?kruhu v tre?om kvadrante (to zistíte podla hraníc dvojného integrálu)...ale keď použijem v tom istom príklad hranice z prvého kvadrantu ( od 0 po pí a od 0 po 2 ) výsledok vyjde iný = 8/3

môže to tak by? ? veď predsa tie obsahy by mali by? rovnaké...

Pavel Brožek

Obsah čtvrtkruhu o poloměru 2 ve třetím kvadrantě v polárních souřadnicích je

$S=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\int_0^2 \varrho \textrm{d}\varrho\textrm{d}\varphi=\pi$

Ten tvůj integrál mi vychází $-\frac83$ , pokud změníme meze na od 0 do pi (pak to je ale půlkruh, čtvrtkruh v 1. kvadrantu by to byl od 0 do pi/2) a od 0 do 2, tak vyjde nula.

Řekl bych, že se snažíš integrovat funkci $f(\varrho,\varphi)=\varrho\cos\varphi$ přes množinu (to je ten čtvrtkruh nebo půlkruh). Integrály funkce přes různé množiny o stejném obsahu samozřejmě můžou být různé.

musixx · 10. 09. 2008 13:33 — Editoval musixx (10. 09. 2008 13:42)

↑ U_S_O: Myslim, ze tady jsou trosku zmatene pojmy. Jednak bychom meli rozlisovat pojem dvojny integral a dvojnasobny integral. Dale, pro obsah obrazce plati, ze je to dvojny integral pres danou mnozinu z jednicky. Pri prevodu z dvojneho integralu na dvojnasobny integral nezapominejme na Jakobian (jeho abs. hodnotu), pokud chces navic prechazet mezi souradnymi systemy. To, co pises, mam pocit, neni vubec obsah ctvrtkruhu o polomeru 2 ve tretim kvadrantu. Podle mne by to bylo takto. Oznacme tento ctvrtkruh jako mnozinu M:
$S=\int\int_M{\rm d}x{\rm d}y=\int_\pi^{\frac{3\pi}2}\int_0^2|J|{\rm d}\rho{\rm d}\varphi=\int_\pi^{\frac{3\pi}2}\int_0^2\rho{\rm d}\rho{\rm d}\varphi=\int_\pi^{\frac{3\pi}2}\left[\frac{\rho^2}2\right]_0^2{\rm d}\varphi=\int_\pi^{\frac{3\pi}2}2{\rm d}\varphi=2\Big[\varphi\Big]_\pi^{\frac{3\pi}2}=\pi$
a stejne to vyjde i pro meze 0 az $\pi/2$ pro $\varphi$ . Jakobian transformace souradnic
$x=\rho\cos\varphi$
$y=\rho\sin\varphi$
je $J=\rho(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=\rho$ .
Je to tak?

kaja.marik · 10. 09. 2008 16:04

↑ U_S_O:
Jo a ten Vas integral

musixx · 10. 09. 2008 16:13

↑ kaja.marik: Osobne si myslim, ze U_S_O to ma cele popletene. Mluvi o "uz provedene uprave do polarnich souradnic", takze jesli to udelal dobre i s Jakobianem, tak predpokladam, ze chtel puvodne integrovat $x$ pres ten ctvrtkruh ve tretim kvadrantu - to da $\rho\cdot\cos\varphi$ a Jakobian $|\rho|=\rho$ , coz je dohromady ten uvedeny dvojnasobny integral.

Mel by spresnit zadani, co vlastne chce vypocitat, kde potrebuje pomoc...

kaja.marik

↑ musixx:
No to je asi pozde .... Zitra ma zkousku.

Ja jsem to pochopil tak, ze nepocital obsah ctvrtkruhu, ale integral, kteremu dal nasledne spatnou geometrickou interpretaci.
---------------------------------------------------
„Paní Čiperová je přes sedmdesát let, má syna inženýra v kanceláři. Čekáme na něho někdy. A slečinku Adamcovou si ta ženská dočista vymyslila. A kdybych, Zdeničko,“ dodal Kája, „kdybych potkal denně sto nebo tisíc žen, já nebudu nikdy vědět, jestli byly staré nebo mladé, ošklivé nebo hezké, protože, Zdeňo, pro mne je jen jediná žena na světě, rozumíš? Tou je právě moje žena, moje Zdeňa, která musí mít ke mně důvěru a být přesvědčena, že ona je jedinou, která se mi líbí, jedinou, kterou mám rád, jedinou, se kterou mohu býti š?asten. Tak, Zdeničko, a teď mi dej nejdřív hezoučkou pusu a potom kávu!“

U_S_O · 10. 09. 2008 18:13

takže ideme od začiatku :)

zadanie je taketo :

po úprave na polárne súradnice mi vyšlo toto :

$\int_{\pi}^{\frac{3\pi}2}\int_0^2((\rho^2)*(cos(\phi)))d\rho d\phi$

a výsledok $(8*\sqrt2)/6$

potom mám ešte taký istý príklad, len je tam malá zmena :

a tam mi vyšiel výsledok 8/3

a ja som myslel že výsledky by mali by? rovnaké...

kaja.marik · 10. 09. 2008 18:21

↑ U_S_O:
rovnaké až na znaménko....
protoze se integruje x, tak ten vysledek nema s obsahem nic spolecneho.
kdybyste to jeste vydelil obsahem ctvrtkruhu, vyjde x-ova souradnice teziste (to jenom tak na okraj)
Proc Vam vyslo spatne $\frac{8\sqrt{2}}{6}$ nevím, protože nevidím postup.

-------------------------------------------------
Maminka ani muk. Protože tatínek měl dnes až od devíti, posnídali v kuchyni spolu.
Maminka ho znovu ponaučovala, jak se má ve škole chovat. „Kdybyste“, rozhodla se náhle, „náhodou měli do jedenácti, dám ti do tašky dva suchárky.“
„Dva? Ty já sním hned za rohem!“ doznává Kája.
„Tak je sněz, a je to!“ Nové figurky vytáhla z tašky, suchárky navrch učení položila a udělala mu křížek na čelo. Vzpomněla si, jak významný krok dnes Kája udělá – prvně sám přes práh školy – oči se jí slzami zaleskly, když dodala: „Jdi s Pánem Bohem! Do školy máš blízko, ulice je tichá, zvykej samostatnosti!“

Pavel Brožek · 10. 09. 2008 19:16

↑ U_S_O:

Nenapadá mě, kde jinde by se mohla vzít odmocnina ze dvou ve tvém výsledku než špatným vyčíslením sinu - $\sin\pi=0,\,\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$ . Bylo to tím? To druhé zadání vychází 8/3 jak píšeš a postup je stejný, jen se dosadí jiné meze.

U_S_O · 11. 09. 2008 19:03 — Editoval U_S_O (11. 09. 2008 19:16)

no asi som zle vyčíslil ten sínus...ale nevadí...dnes som konečne spravil skúšku...posledný, tretí pokus - a dostal som "B" :)

//tu su priklady ktoré som tam mal, keby vás to zaujímalo :

to čo som prečiarkol červenou tam nebolo...to je odfotený test ktorý som mal ked som bol druhý krát skúšku...no a moc sa toho teda nezmenilo :D

Matematické Fórum

#1 10. 09. 2008 13:04 — Editoval U_S_O (10. 09. 2008 13:05)

Dvojný integrál

#2 10. 09. 2008 13:25 — Editoval BrozekP (10. 09. 2008 13:30)

Re: Dvojný integrál

#3 10. 09. 2008 13:33 — Editoval musixx (10. 09. 2008 13:42)

Re: Dvojný integrál

#4 10. 09. 2008 16:04

Re: Dvojný integrál

#5 10. 09. 2008 16:13

Re: Dvojný integrál

#6 10. 09. 2008 16:51 — Editoval kaja.marik (10. 09. 2008 16:55)

Re: Dvojný integrál

#7 10. 09. 2008 18:13

Re: Dvojný integrál

#8 10. 09. 2008 18:21

Re: Dvojný integrál

#9 10. 09. 2008 19:16

Re: Dvojný integrál

#10 11. 09. 2008 19:03 — Editoval U_S_O (11. 09. 2008 19:16)

Re: Dvojný integrál

Zápatí