Matematické Fórum

dedina · 11. 09. 2008 09:43

prosím nevím jak upravit,
3/(x+1)+7/(x+2)=6/(x-1)

ttopi · 11. 09. 2008 09:51

Urči si počáteční pomínky, čemu se nesmí rovnat x a pak můžeš všemi jmenovately vynásobt celou rovnici. Pak roznásobíš so bude třeba a mělo by ti něco vyjít.

Cheop · 11. 09. 2008 10:08 — Editoval Cheop (11. 09. 2008 10:10)

$\frac{3}{x+1}+\frac{7}{x+2}=\frac{6}{x-1}$
$\frac{3(x+2)+7(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{6}{x-1}$
$(10x+13)(x-1)=6(x+1)(x+2)\nl10x^2+3x-13=6x^2+18x+12\nl4x^2-15x-25=0$
$x_1=5\nlx_2=-\frac 54$

Podmínky řešitelnosti:
$x\ne\pm 1\nlx\ne -2$

lukaszh · 11. 09. 2008 10:17

↑ dedina:
Nejde o lineárnu rovnicu. Ide o kvadratickú rovnicu s dvoma reálnymi koreňmi. Mám ale pocit, že kvadratické rovnice sa na základných školách nepreberajú. Alebo áno?

Cheop · 11. 09. 2008 11:36 — Editoval Cheop (11. 09. 2008 11:37)

↑ lukaszh:

Kvadratické rovnice se probírají v 9. třídě ZŠ.

dedina · 15. 09. 2008 19:32

děkuji,tohle jsem zkoušela podobně,ale vycházej jen nesmysly: xˇ2+3/xˇ2-1=2x+1/x+1)+(x+6/2x-2

jelena · 15. 09. 2008 23:26

↑ dedina:

Zdravím :-)

V zápisu, jak uvádíš: xˇ2+3/xˇ2-1=2x+1/x+1)+(x+6/2x-2 .... se bohužel nedá vyznat :-(

Zkus projit řešení od kolegy ↑ Cheop:, je podrobné a případně se zeptej na jednotlivé úpravy (třeba řádek po rádku).

OK?

Cheop · 16. 09. 2008 09:45 — Editoval Cheop (16. 09. 2008 09:46)

$\frac{x^2+3}{x^2-1}=\frac{2x+1}{x+1}+\frac{x+6}{2x-2}$
$\frac{x^2+3}{x^2-1}=\frac{2x+1}{x+1}+\frac{x+6}{2(x-1)}$
$\frac{2(x^2+3)}{2(x^2-1)}=\frac{(2x+1)(2x-2)+(x+6)(x+1)}{2(x^2-1)}$
$2x^2+6=4x^2-2x-2+x^2+7x+6$
$3x^2+5x-2=0$ řešením této kvadratické rovnice je:
$x_1=-2\nlx_2=\frac13$

Podmínky řešitelnosti:
$x\ne\pm 1$

Marian · 16. 09. 2008 10:17 — Editoval Marian (16. 09. 2008 10:20)

Dovolil jsem si to trochu přepsat. Nejen že to je přehlednější, ale také snad i jednodušší k napsání v TeXu:

Code:

\begin{array}{rcl}
\frac{x^2+3}{x^2-1}&=&\frac{2x+1}{x+1}+\frac{x+6}{2x-2}\\
\frac{x^2+3}{x^2-1}&=&\frac{2x+1}{x+1}+\frac{x+6}{2(x-1)}\\
\frac{2(x^2+3)}{2(x^2-1)}&=&\frac{(2x+1)(2x-2)+(x+6)(x+1)}{2(x^2-1)}\\
2x^2+6&=&4x^2-2x-2+x^2+7x+6\\
3x^2+5x-2&=&0
\end{array}

dedina · 17. 09. 2008 09:51

prosím ještě o vysvětlení jak jste dostali na lené i pravé straně-2(xˇ2-1),jinak díky

ttopi · 17. 09. 2008 10:00

↑ dedina:
Úpravou, tak, aby na pravé i levé straně byl stejný jmenovatel. Takže se našel výraz, který obsahuje všechny jmenovatele o řádek výš.

Cheop · 17. 09. 2008 10:02 — Editoval Cheop (17. 09. 2008 14:59)

↑ dedina:
Na levé straně rovnice je ve jmenovateli výraz $x^2-1$ (to je přímo v zadání příkladu)
Na pravé straně zlomků je ve jmenovatelích:
První zlomek $x+1$
Druhý zlomek $2x-2=2(x-1)$
Společný jmenovatel zlomků na pravé straně rovnice bude $2(x+1)(x-1)=2(x^2-1)$
My máme na levé straně rovnice jmenovatel $x^2-1$ . Abychom dostali společný jmenovatel $2(x^2-1)$ i na levou stranu rovnice, pak levou stranu musíme vynásobit výrazem $\frac 22$ tj. čitatel i jmenovatel vynásobíme číslem 2, tím se nám hodnota zlomku nezmění, ale my jsme dosáhli toho, že ve jmenovateli zlomku je výraz $2(x^2-1)$

To samé uděláme i se zlomky na pravé straně rovnice, rozšíříme zlomky tak, aby jejich hodnota zůstala stejná, ale aby měly oba zlomky stejný jmenovatel $2(x^2-1)$
Čitatele prvního zlomku na pravé straně musíme vynásobit výrazem $2(x-1)=2x-2$ výraz $x+1$ už jmenovatel obsahuje
Čitatele druhého zlomku na pravé straně musíme vynásobit výrazem $x+1$ výraz $2x-2$ už jmenovatel obsahuje.

Teď už máme stejný jmenovatel jak na pravé straně rovnice , tak na levé, můžeme tedy jmenovatele na obou stranách rovnice zkrátit výrazem $2(x^2-1)$ a ve jmenovatelích na obou stranách rovnice takto vykráceného zlomku nám zůstane číslo 1.
Pak už stačí jen roznásobit a upravit čitatele na obou stranách rovnice tj: $2x^2+6=4x^2-2x-2+x^2+7x+6$ a dospět tak ke kvadratické rovnici: $3x^2+5x-2=0$ a tuto rovnici vyřešit.

Obecné řešení kvadratické rovnice ve tvaru: $ax^2+bx+c=0$ je:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ kde pro náš případ je:
$a=3\,b=5\,c=-2$
Řešení:
$3x^2+5x-2=0\nlx_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-(-2\cdot 3\cdot 4)}}{6}\nlx_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{6}\nlx_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{6}\nlx_1=-2\nlx_2=\frac13$