Matematické Fórum

stage · 03. 01. 2012 13:54 — Editoval stage (03. 01. 2012 17:15)

Dobrý den,

potřeboval bych poradit s řešením "obecného" determinantu. Vůbec mě nenapadá jeho řešení, neboť přes L. rozvoj to zřejmě nepůjde a pomocí Gaussovi eliminace mi to taky nepřipadá úplně vhodné. Avšak je asi více než přavděpodobné, že se mýlím.

Předem díky za pomoc :)

jardofpr · 03. 01. 2012 18:02

Zdravím,

skús sa pozrieť na definíciu determinantu cez sumu permutácií a uplatniť pravidlo, že ak pripočítaš reálny násobok ľubovoľného riadka matice A k inému riadku matice A, determinant matice A zostane rovnaký.
Teda vhodným odčitovaním riadkov by si mohol dosiahnuť podstatné zníženie počtu permutácií ktoré bude treba sčítať. ;-)

poprípade si zrátaj determinanty pre niekoľko prvých n a možno zbadáš čo máš hľadať ;-)

stage · 03. 01. 2012 19:06

↑ jardofpr:

Tak pro n = 1 dostávám výsledek (n - 1)!

podle definice, na kterou jsi mě odkázal pak tedy výsledek pro obecné n by měl vypadat takto?

$det A = (-1)^{r} \Pi a_{11} * a_{22}*a_{33} . . . * a_{nn}$

kde r vyjadruje pocet permutaci.

jardofpr

no vyšlo mi to takmer rovnako, až na to $(-1)^r$

teda, neviem čo tým r myslíš presne, ako počet všetkých permutácií množiny $\{1,2,....n\}$ ?
lebo ten je párny pre všetky n>1 .. a keď si zrátaš determinant pre n=4 tak ten bude napríklad záporný ;-)

teda, odkiaľ si prišiel k tomu r?

stage · 03. 01. 2012 19:33

↑ jardofpr:

jj myslel jsem mozny pocet vsech permutaci na mnozine $\{1,2,....n\}$

Protoze kdybych pocital vcetne $n\ge 1$ tak pro samotnou jednicku to sude nebude ne?

jardofpr · 03. 01. 2012 19:40

stage napsal(a):
↑ jardofpr:

Protoze kdybych pocital vcetne $n\ge 1$ tak pro samotnou jednicku to sude nebude ne?

neviem čo si chcel týmto povedať ak mám byť úprimný :)

ale mocnina nad mínus jednotkou v tom výsledku bude závisieť od stupňa tej matice ;-)

teda, ak si zrátal determinanty pre prvé 3 alebo 4 n tak si to musel vidieť ..
ako si teda k tomu výsledku prišiel? (celkovému)

stage · 03. 01. 2012 19:52

↑ jardofpr:

No pocital jsem to postupne pro n = 1,2,3.

Ale kdyz jsem se podival do tech presnych definic determinantů, tak je vsude uvedené znamenko permutace. Ale asi jsem si tu definici spatne vylozil.

takze spravna varianta je

$det A = \Pi a_{11} * a_{22}*a_{33} . . . * a_{nn}$

pro n > 1 ?

jardofpr

nie,

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

stage · 03. 01. 2012 21:40

↑ jardofpr:

Dekuju mockrat za pomoc. Takhle jsme to ve skriptech napsane nemeli. Diky moc, uz je mi to jasnejsi :)

vanok · 04. 01. 2012 00:01

Ahoj ↑ stage:,
len mala poznamka:
Tvoja matica je specialny pripad Hurwitz-ovej matice.

stage · 04. 01. 2012 00:09

↑ vanok:

Mrknu, co se o ní píše v literature :)) Diky

vanok · 04. 01. 2012 09:59

Ahoj ↑ stage:,
Dufam ze nieco najdes v literature.

Ten dokaz ak chces mozme si tu urobit.
Ale miesto tvojej matice, ( pre pricinu co pochopis pri dokaze) uvazujme o trocha vseobecnejsiej matice $B$ kde niesto n nad diagonalou su prvky a a pod diagonalou pod prvky b.

A akoze by bolo dobre aby si ten dokaz urobil sam tak ti dam indikacie vo forme challenge, ktory dufam, dokazes zvladnut.

PRVY CHALLENGE:
Uvazujme vseobecnu maticu $C$ typu $(n:n)$ .
Ked nahradime maticu $C$ , maticou $C(x)$ kde kazdy prvok $c_{ij}$ matice $C$ je nahradeny prvkom $c_{ij}+x$ , tak determinant matice $C(x)$ je polynom formy $\alpha x + \beta$ .