Matematické Fórum

Kamill · 24. 10. 2007 20:59

Ahoj, pomohl by jste mi někdo prosím s tímhle?:

Nalezněte minimální polynom čísla a=cos((2*Pi)/5) nad racionálními čísly.

díky

Marian · 25. 10. 2007 17:33 — Editoval Marian (25. 10. 2007 19:53)

Pro nalezeni minimalniho polynomu (nad telesem vsech racionalnich cisel) algebraickeho cisla cos(2*Pi/5) bys jiste mohl pouzit vztahu

$\cos (5\alpha)=16\cos^5\alpha -20\cos^3\alpha +5\cos\alpha$ . (1)

Polozime-li $\alpha =\frac{2}{5}\pi$ a $x:=\cos\alpha =\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )$ , mame predevsim

$\cos (5\alpha)=\cos (2\pi)=1$ .

Dosazenim posledniho vztahu do rovnice (1) pak mame lehce, ze cislo $x:=\cos\alpha =\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )$ splnuje algebracikou rovnici

$16x^5-20x^3+5x=1\qquad\Leftrightarrow\qquad 16x^5-20x^3+5x-1=0$ .

To je polynom s celociselnymi koeficienty, jehoz korenem (mimo jine) je cislo $\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )$ . Vznika otazka, zda-li polynom

$q(x):=16x^5-20x^3+5x-1$

je take minimalnim polynomem pro cislo $\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )$ . Ukazeme, ze tomu tak neni. Polynom $q(x)\in\mathbb{Z}[x]$ je totiz rozlozitelny na soucin polynomu, tere maji taktez celociselne koeficienty. Plati

$q(x)=(x-1)\cdot (4x^2+2x-1)^2$ .

Odtud plyne, ze cislo $\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )$ musi byt korenem polynomu $q_1(x):=4x^2+2x-1$ . To musi byt jiz minimalni polynom, nebot cislo $\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )$ neni korenem zadneho polynomu $q_2(x):=ax+b\in\mathbb{Z}[x]$ , $a\neq 0$ . V opacnemi pripade by platilo

$0=q_2\left (\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )\right )=a\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )+b,\qquad a\neq 0$ .

Odtud by pak plynulo, ze

$\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )=-\frac{b}{a}\in\mathbb{Q}$ .

Je ale znamo, ze hodnota $\cos\left (\frac{2}{5}\pi\right )$ je cislo iracionalni. Tedy hledany minimalni polynom je polynom

$\color{red}{}\boxed{q_2(x)=4x^2+2x-1}$ .

====================================================================
PS:

[1]. Navic jsem hledal take na internetu, a nasly se dokonce explicitni vzorce pro urceni minimialnich polynomu cisel $\cos\frac{2\pi}{p}$ a $\sin\frac{2\pi}{p}$ , kde p je liche prvocislo. Ty vysledky jsou ale pomenre nove, presneji z let 2003 a 2004. Vice pak naleznes zde.

[2]. Hledas pravdepodobne monicky minimalni polynom, takze muzes vhodne upravit: $x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ (formalne se vynasobil polynom q_2(x) cislem 1/4).

Marian

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2007 20:59

Minimální polynom

#2 25. 10. 2007 17:33 — Editoval Marian (25. 10. 2007 19:53)

Re: Minimální polynom

Zápatí