Matematické Fórum

Cipisek · 20. 09. 2008 14:15

Zdravím potřeboval bych poradit s příkladem:

Diky

Pavel Brožek · 20. 09. 2008 15:40

↑ Cipisek:

Nahraď kosinus podle vzorce $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ . Pak provedeš vhodnou substituci a vyřešíš kvadratickou rovnici.

jarrro · 20. 09. 2008 15:49 — Editoval jarrro (20. 09. 2008 15:51)

$2\cos^2{x}-3\sin{x}=3\nl2$1-\sin^2{x}$-3\sin{x}=3\nl2-2\sin^2{x}-3\sin{x}-3=0\nl2\sin^2{x}+3\sin{x}+1=0$ rieš kvadratickú rovnicu z neznámou sin(x) a potom 2 goniometrické rovnice z neznámou x edit: ja sa vzdávam konečne chcem odpoveda? a už ma predbehli

Ivana · 20. 09. 2008 16:13

↑ Cipisek:

jarrro · 20. 09. 2008 17:00

↑ Ivana:nemá tam by? $\frac{-3\pm 1}{4}$ ?

Ivana · 20. 09. 2008 17:15

↑ jarrro:
Ó ano , a mně to bylo divné , že mi vycházejí taková nešikovná čísla . Jinak postup je snad Cipiskovi jasný . Díky za opravu .Pořád říkám , že u sebe se vždycky hledá chyba hůř . :-)

m.m. · 22. 09. 2008 22:04

Prosím o pomoc, mé zadaní příkladu je: cos(2x-pí/3)=1/2 výsledek vyjde x1=pí/3+kpí ale opravdu nerozumím tomu jak se dotat k výsledku x2, který vyjde kpí

Chrpa · 22. 09. 2008 22:45 — Editoval Chrpa (22. 09. 2008 22:55)

↑ m.m.:
$\cos(2x-\frac{\pi}{3})=\frac12$ zavedeme substituci $2x-\frac{\pi}{3}=y$ a dostaneme:
$\cos y=\frac12$ řešením této rovnice je:
$y_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi\nly_2=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$ vrátíme se k substituci
$2x-\frac{\pi}{3}=y_1\nl2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi\nl2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\nlx_1=\frac{\pi}{3}+k\pi$
$2x-\frac{\pi}{3}=y_2\nl2x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\nl2x=2\pi+2k\pi\nlx_2=\pi(k+1)$

m.m. · 23. 09. 2008 14:46

Mockrát děkuji, podařilo se mi vypočítat zbytek příkladů a ještě jeden dotaz na příklad tgx + cotgx = 2/sin2x a mám zjistit, zda pro přípustné hodnoty x platí. Nevím z čeho to mám vyčíst, je mi jasné že se topím v nějakých vzorečkách, které neznám a ani nevím kde je najít. Prosím poraďte mi ...

musixx · 23. 09. 2008 14:55 — Editoval musixx (23. 09. 2008 14:58)

↑ m.m.: V zadani je napsano, ze se nemame zabyvat podminkami. Takze:
${\rm tg}(x)+{\rm cotg}(x)=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cdot\cos x}=\frac1{\sin x\cdot\cos x}=\frac2{2\cdot\sin x\cdot\cos x}=\frac2{\sin(2x)}$ ,
tedy plati.

Postupne jsem pouzil: rozepsani tan() a cotg() pomoci sin() a cos(), goniometrickou jednicku (soucet druhe mocniny sinu nejakeho uhlu s druhou mocninou cosinu toho stejneho uhlu je vzdy roven jedna) a vzorec pro sinus dvojnasobneho argumentu.

Chrpa · 23. 09. 2008 15:57 — Editoval Chrpa (23. 09. 2008 15:57)

↑ m.m.:
Napíši tedy několik užitečných vzorců
$\sin^2x+\cos^2x=1\nl\sin(2x)=2\sin x\cdot\cos x\nl\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\nl\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt 2$
$cos{\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt 2}$

Cipisek · 23. 09. 2008 17:20

Moc diky za reakce.

m.m. · 23. 09. 2008 18:54

děkuji, tak na to bych sama nepřišla, stejně z toho mám v hlavě guláš, no nějak se s tím poperu. Moc děkuji za výpočty a vzorečky

Pavel Brožek · 23. 09. 2008 22:34

↑ Chrpa:
Vzorce pro sinus a cosinus polovičního argumentu vypadají takto:

$\cos^2\,\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{ 2}\nl \sin^2\,\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{ 2}$

nebo pokud to chceš mít ve tvaru bez druhé mocniny

$|\cos\,\frac{x}{2}|=\frac{\sqrt{1+\cos x}}{ \sqrt2}\nl |\sin\,\frac{x}{2}|=\frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt 2}$

Pokud bychom tam absolutní hodnotu nedali, pak vzorec neplatí pro všechna reálná x (neplatil by pro x takové, že $\cos \frac x2<0$ , resp. $\sin \frac x2<0$ ).

Cheop · 24. 09. 2008 06:44 — Editoval Cheop (24. 09. 2008 13:30)

↑ BrozekP:
To já vím, že to má být v absolutní hodnotě, ale nepodařilo se mi to v Texu napsat.

Mojí chybou je, že jsem to neuvedl v komentáři.
Snad tedy takto?
$|\,\cos\,\frac{ x}{2}\,|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\nl|\,\sin\,\frac{ x}{2}\,|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$

Pavel Brožek · 24. 09. 2008 10:18

↑ Cheop:

Takto také ne, jsou i kladná x, pro která jsou funkce sinus a kosinus záporné. Třeba když dosadíš $x=\frac52\pi$ , tak bys podle obou tvých vzorců dostal

$-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$

Absolutní hodnota musí být přes celý sinus (resp. kosinus), vznikla tam odmocněním obou stran (pravá strana je jistě nezáporná - plyne z oboru hodnot kosinu, levá ale ne).

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2008 14:15

Goniometrická rovnice

#2 20. 09. 2008 15:40

Re: Goniometrická rovnice

#3 20. 09. 2008 15:49 — Editoval jarrro (20. 09. 2008 15:51)

Re: Goniometrická rovnice

#4 20. 09. 2008 16:13

Re: Goniometrická rovnice

#5 20. 09. 2008 17:00

Re: Goniometrická rovnice

#6 20. 09. 2008 17:15

Re: Goniometrická rovnice

#7 22. 09. 2008 22:04

Re: Goniometrická rovnice

#8 22. 09. 2008 22:45 — Editoval Chrpa (22. 09. 2008 22:55)

Re: Goniometrická rovnice

#9 23. 09. 2008 14:46

Re: Goniometrická rovnice

#10 23. 09. 2008 14:55 — Editoval musixx (23. 09. 2008 14:58)

Re: Goniometrická rovnice

#11 23. 09. 2008 15:57 — Editoval Chrpa (23. 09. 2008 15:57)

Re: Goniometrická rovnice

#12 23. 09. 2008 17:20

Re: Goniometrická rovnice

#13 23. 09. 2008 18:54

Re: Goniometrická rovnice

#14 23. 09. 2008 22:34

Re: Goniometrická rovnice

#15 24. 09. 2008 06:44 — Editoval Cheop (24. 09. 2008 13:30)

Re: Goniometrická rovnice

#16 24. 09. 2008 10:18

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí