Matematické Fórum

Zoli7114 · 10. 01. 2012 09:12

žiadam pomoc: rovnica pre dlžku zlatej špirály.
rovnica zlatej špirály: r=1*exp(0,00267*alfa), alfa je v stupňoch
rovnica vznikla z podmienok:
alfa=0, r=1, a=1
alfa=90, r=sqrt(fi), b=0,00267
fi=(1+sqrt(5))/2

mikrochip · 10. 01. 2012 12:03

http://cs.wikipedia.org/wiki/Spirála

mikrochip · 10. 01. 2012 12:19

http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka3.html

Zoli7114 · 10. 01. 2012 13:34

Ďakujem za odpoveď.
Na stránke českej Wikipédie práve chýba rovnica o dlžke. Na nemeckej som to našiel a podľa mojich výpočtov je to s( $\pi$ )=10,686
Prosím o kontrolu.

jelena · 11. 01. 2012 00:29

↑ Zoli7114:

Zdravím,

mohli jste počítat podle vzorce pro délku křivky v polárních souřadnicích. Nebo podle kterého vzorce jsi počítal?

Těžko někdo bude kontrolovat číselné výpočty, spíš postup. Děkuji.

Zoli7114 · 11. 01. 2012 01:02

↑ jelena:
Zdravím. použil som vzorec z nemeckej wikipedie :
http://de.wikipedia.org/wiki/Spirale
konrétne:

ďakujem.

Honzc · 11. 01. 2012 09:40 — Editoval Honzc (13. 01. 2012 14:14)

↑ Zoli7114:
Tak tedy:
Nejdříve je třeba ze zadání určit rovnici zlaté spirály. ( $\alpha$ budeme brát v radiánech)
Platí:
$r=a\cdot e^{b\alpha }$
Pro naše zadání:
$a=1$
$\sqrt{\varphi }=b\cdot e^{\frac{\pi }{2}}\Rightarrow b=\frac{2}{\pi }\ln \sqrt{\varphi }=\frac{\ln \varphi }{\pi }$ kde $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
a tedy rovnice zlaté spirály v polárních souřadnicích ( $r,\alpha$ ) je:
$r=e^{b{\alpha }}=e^{\frac{\ln \varphi }{\pi }{\alpha }}$
Pro délku křivky platí:
$l=\int_{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sqrt{r^{2}+r'^{2}}d\alpha$
pro náš příklad:
$r=e^{b\alpha }\Rightarrow r^{2}=e^{2b\alpha }$
$r'=b\cdot e^{b\alpha }\Rightarrow r'^{2}=b^{2}e^{2b\alpha }$
$\sqrt{e^{2b\alpha }+b^{2}e^{2b\alpha }}=\sqrt{1+b^{2}}\cdot e^{b\alpha}$
$l=\sqrt{1+b^{2}}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}e^{b\alpha}d\alpha =\frac{\sqrt{1+b^{2}}}{b}[e^{b\alpha}]^{\frac{\pi }{2}}_{0}=$
$=\sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}(e^{\frac{\ln \varphi }{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}}-1)\approx 1.7966$
Po editaci
Příklad je spočítán pro čtvrtinu závitu, tj pro $\alpha \in \langle0,\frac{\pi }{2}\rangle$
Celý závit ( $\alpha \in \langle0,2\pi \rangle$ ) by měl délku $l\approx 10.6865$

Po druhé editaci:
Co je ovšem ještě zajímavější je toto:
$l_{\alpha \in (-\infty ,0\rangle}=\sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}\approx 6.604645$
$l_{\alpha \in \langle0,\frac{\pi }{2}\rangle}=\sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}\cdot (\sqrt{\varphi }-1)\approx 1.796593$
$l_{\alpha \in \langle0,\pi\rangle}=\sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}\cdot (\varphi-1)\approx 4.081896$
$l_{\alpha \in \langle0,2\pi\rangle}=\sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}\cdot (\varphi ^{2}-1)= \sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}\cdot\varphi \approx 10.686541$
$l_{\alpha \in (-\infty ,\pi \rangle}=\sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}\cdot\varphi =l_{\alpha \in \langle 0,2\pi \rangle}$
$l_{\alpha \in \langle\pi ,2\pi\rangle}=\sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}\cdot (\varphi ^{2}-\varphi)= \sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}=l_{\alpha \in (-\infty ,0\rangle}$
$l_{\alpha \in \langle0,\pi\rangle}=l_{\alpha \in \langle0,2\pi\rangle}-l_{\alpha \in (-\infty ,0\rangle}=l_{\alpha \in \langle0,2\pi\rangle}-l_{\alpha \in \langle\pi ,2\pi\rangle}$

Ještě malá tabulka:
$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|} \frac{l}{k} & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi & 6\pi\\ -\infty & 1 & \varphi & \varphi +1 & 2 \varphi +1 & 3 \varphi +2 & 5 \varphi +3 & 8 \varphi +5\\ 0 & \times & \varphi -1& \varphi & 2 \varphi & 3 \varphi +1 & 5 \varphi +2 & 8 \varphi +4\\ \pi & \times & \times & 1 & \varphi+1 & 2 \varphi +2 & 4 \varphi +3 & 7 \varphi +5\\ 2\pi & \times & \times & \times & \varphi & 2 \varphi +1 & 4 \varphi +2 & 7 \varphi +4\\ 3\pi & \times & \times & \times & \times & \varphi +1 & 3 \varphi +2 & 6 \varphi +4\\ 4\pi & \times & \times & \times & \times & \times & 2 \varphi +1 & 5 \varphi +3\\ 5\pi & \times & \times & \times & \times & \times & \times & 3 \varphi +2\\ \end{array}$
kde je vždy délka úseku (od-mez v řádku do-mez ve sloupci) dělená konstantou $k=\sqrt{1+\left(\frac{\pi }{\ln \varphi }\right)^{2}}$

A nakonec toto: