Matematické Fórum

Vencabenes · 13. 01. 2012 14:19

Dobré odpoledne, narazil jsem na příklad, který se snažím ještě za pomoci kamaráda vyřešit, ale nedaří se nám to. Dokonce jsme při jeho výpočtu narazili na zajímavou věc, na kterou bych se také rád zeptal.

Příklad: (xe^x)^1/2 zjistit mám inflexní body.

snažil jsem se udělat první derivaci a pak druhou a tu pak spočítat, pro jaké x se bude rovnat nule, ale pravděpodobně mám někde nějakou numerickou chybu, nebo jsem něco opomněl ve druhé derivaci. Předem děkuji ya pomoc.

vanok · 13. 01. 2012 16:02

Ahoj ↑ Vencabenes:,
Napis tvoje vypocty.

Vencabenes · 13. 01. 2012 17:03

omlouvam se, ze je to rucne. jsou tam dve moznosti, ale prijde mi to az moc slozite, nez abych to pocital v rovnici

kdyby to neslo https://docs.google.com/open?id=0B3zY4H … Q0N2U1NzRh

vanok · 13. 01. 2012 17:33 — Editoval vanok (14. 01. 2012 12:23)

↑ Vencabenes:,
Mozno sa priliz unavujes z tymy upravamy.
Ta na konci prveho vypoctu je dostacna, lebo ti povoluje vysetrit znamienko tej derivacie.
a tiez je to prakticka forma na vypocet f''

Vencabenes · 13. 01. 2012 19:47

↑ vanok: ale to bude strašně moc těžké to z toho vydloubat ne?

rleg · 14. 01. 2012 12:06

První derivace vypadá dobře, akorát bych to upravil na hezčí tvar (vytknul a vykrátil). $\frac12 \cdot \sqrt{\frac{e^x}{x}}\cdot (x+1)$

pro druhou derivaci bych to pak upravil na přijatelnější tvar $\frac12 \cdot \sqrt{\frac{e^x (x+1)^2}{x}}$

a druhá derivace mi pak po úpravách vyšla $-\frac12 \cdot \frac{\sqrt{e^x}(x^2+x-1)}{x^{\frac32}}$

čili, aby druhá derivace byla rovna nule, pak musí platit $x^2+x-1=0$

A to mi vyšlo
$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \nl x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$x_1$ leží mimo definiční obor, takže inflexní bod je pouze jeden a je to $x_2$

Vychází to cca 0,6 a podle grafu by to mohlo tak být

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 14. 01. 2012 12:51 — Editoval vanok (14. 01. 2012 12:53)

↑ rleg:,
MALE POZNAMKY:
Prva derivacia, to mas dobry vyraz.
Ale vo vypocte druhej si sa niekde zmylil:
Pises ze $-\frac12 \cdot \frac{\sqrt{e^x}(x^2+x-1)}{x^{\frac32}}$
Ale dobra odpoved je
$\frac{e^{\frac x2}}{4x^{\frac 12}}\cdot (x^2+4x+1)$
ktorej koren na obore nasej funkcie je $x= \sqrt3 -2$ .....

rleg · 14. 01. 2012 13:38 — Editoval rleg (14. 01. 2012 13:40)

↑ vanok: Je možné, že jsem někde tu chybu udělal. Rozepíšu to, abychom ji mohli najít.

$y'=\frac12 \cdot \sqrt{\frac{e^x (x+1)^2}{x}}$

$y''=\frac12\color{red}\cdot\frac12\color{black}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{e^x(x+1)^2}{x}}}\cdot \frac{1\cdot (e^x(x+1)^2)-(e^x(x+1)^2 + e^x \color{red} 2\color{black} (x+1))x}{x^2}=\nl=\frac14\cdot\sqrt{\frac{x}{e^x(x+1)^2}}\cdot\frac{ e^x (x+1)^2 - xe^x(x+1)^2 - xe^x 2 (x+1)}{x^2}= \nl=\frac14 \cdot \sqrt{\frac{x}{e^x(x+1)^2}}\cdot \frac{ e^x \cdot (x+1)\cdot ((x+1)-x(x+1)-2x)}{x^2}=\nl=\frac14 \cdot \frac11 \cdot \frac{\sqrt{e^x}\cdot(x+1-x^2-x-2x)}{x^{\frac32}}=\frac14 \cdot\frac{\sqrt{e^x}\cdot(-x^2-2x+1)}{x^{\frac32}}= \nl= -\frac14\cdot \frac{\sqrt{e^x}\cdot(x^2+2x-1)}{x^{\frac32}}$

To červené by měly být chybky, kterých jsem našel při přepisování. Další teď nějak nemůžu najít

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2012 14:19

Inflexní body fce.

#2 13. 01. 2012 16:02

Re: Inflexní body fce.

#3 13. 01. 2012 17:03

Re: Inflexní body fce.

#4 13. 01. 2012 17:33 — Editoval vanok (14. 01. 2012 12:23)

Re: Inflexní body fce.

#5 13. 01. 2012 19:47

Re: Inflexní body fce.

#6 14. 01. 2012 12:06

Re: Inflexní body fce.

#7 14. 01. 2012 12:51 — Editoval vanok (14. 01. 2012 12:53)

Re: Inflexní body fce.

#8 14. 01. 2012 13:38 — Editoval rleg (14. 01. 2012 13:40)

Re: Inflexní body fce.

Zápatí