Matematické Fórum

carl · 26. 09. 2008 20:23

jaky je postup pri vyhledavani pytagorovych triojic PLS pomocte

Lishaak · 26. 09. 2008 21:44

Mno, existuji na to vzorecky, ktere dosazovanim prirozenych cisel generuji vsechny Pytagorejske trojice. Nicmene mi ten vzorecek prijde na zakladni skolu mozna prilis slozity, cili ho sem i s vysvetlenim psat nebudu, ale kdybys ho chtel znat, dej vedet.

Priklady trojic:

( 3, 4, 5) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)
(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)
(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

carl · 27. 09. 2008 08:48

ahoj jj chtel bych ho znat + vysvetleni dííky moc

ttopi · 27. 09. 2008 10:19

Na této stránce se dá lecos najít.

ttopi · 27. 09. 2008 10:24

Jinak našel jsem jeden vzorec, který zaručeně funguje.

Máme-li 2 přirozená čísla p a q, kde p>q, pak získáme pythagorejské trojice takto:

odvěsna: $p^2-q^2$
odvěsna: $2pq$
přepona: $p^2+q^2$

Myslím, že to není tak těžké, jak říká Lishaak.

carl · 27. 09. 2008 10:41

mužete uvest aspon jeden přiklad abych to lepe pochopil

ttopi · 27. 09. 2008 10:45 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:05)

Za jisté.

Volím: $p=6 \nl q=3$

Pak:
$6^2-3^2=36-9=27=a\nl2\cdot6\cdot3=36=b\nl6^2+3^2=36+9=45=c$
což vlastně není nic jiného, než známá trojice 3;4;5 vynásobená číslem 9.

EDIT: Poměrně se nudím, tak dáme ještě jeden :-)

Volím $p=7 \nl q=5$

Pak:
$7^2-5^2=49-25=24\nl2\cdot7\cdot5=70\nl7^2+52=49+25=74$

jimy · 27. 09. 2008 11:16

prosim o pomoc při řešení příkladu )a+3b)nadruhou

carl · 27. 09. 2008 11:20

RE:ttopi

Diky moc uz to chapu ..velka vďaka

ttopi · 27. 09. 2008 11:22 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:22)

Je to trochu mimo, ale budiž.

Takový příklad se řeší pomocí vzorce $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ (volím záměrně x a y, kvůli přehlednosti další věty).

V našem příkladě x=a a y=3b.

Aplikujme tedy vzorec. Dostáváme $a^2+2\cdot a\cdot3b+(3b)^2=a^2+6ab+9b^2$ .

Je to jasné?

jimy · 27. 09. 2008 11:29

prosim o postup a reseni rovnice2x-1)na druhou

ttopi · 27. 09. 2008 11:31 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:31)

Totéž v bledě modrým.

podle vzorce $(a-b)^2=a^2-2\cdot a\cdot b+b^2$ .

a=2x
b=1

Po aplikaci $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$

Lishaak · 27. 09. 2008 11:42

↑ jimy:

Vystraha od moderatora. Pro kazdy priklad prosim zakladej nove tema, je to psano v pravidlech fora, bod 2. Doporucuju precist a dodrzovat.

Hezky den

Petuhik · 26. 11. 2009 20:33

ahoj, chtěla bych se zeptat, jaký by byl postup při hledání pythagoryjské trojce, když vím, že (65,y,z). Zkoušela jsem to přes známé vzorečky, vyšlo mi jen (65,72,97). Zajímalo by mě, jestli se dá nějak určit, kolik těch trojic s tím číselm 65 na začátku (odvěsna) bude. Děkuji za odpověď.

Chrpa · 26. 11. 2009 21:10 — Editoval Chrpa (26. 11. 2009 21:11)

↑ Petuhik:
S číslem 65 jako nejkratší odvěsnou budou ještě trojice:
$(65\,;156;\,169)\nl(65\,;\,420;\,425)\nl(65\,;\,2112;\,2113)$

Petuhik · 26. 11. 2009 21:22

↑ Chrpa: děkuji moc a jak se na toto přijde? To bych to podle zrorečku počítala do nekonečna :-(

Chrpa · 26. 11. 2009 21:39

↑ Petuhik:
Mnou uvedené trojice vychází z jednoduchého principu:
Rozložím číslo 65 na součin prvočísel tj: $65=5\cdot 13$
První trojice bude mít strany 13 krát delší než trojúhelník, jehož nejkratší strana bude 5
Najdeme trojici,jehož nejmenší íslo bude 5
Já to dělám takto:
Umocním toto číslo na druhou a pak další číslo bude:
$\frac{5^2-1}{2}$
a daší číslo bude:
$\frac{5^2+1}{2}$
Tedy trojice bude:
$(5\,;\,12;\,13)$ a teď stačí jen tato čísla vynásobit 13
To samé udělám pro číslo 13 tj:
$\frac{13^2-1}{2}$
$\frac{13^2+1}{2}$
Budou to čísla:
$(13\,;\,84;\,85)$ a vynásobím 5
To samé udělám pro číslo 65 tj:
$\frac{65^2-1}{2}$
$\frac{65^2+1}{2}$

Petuhik · 26. 11. 2009 22:09

↑ Chrpa:mnohokrát děkuji za návod, ale zas nemůžu přijít na to, jak z toho vypočítám (65,72,97)

Chrpa · 27. 11. 2009 09:29 — Editoval Chrpa (27. 11. 2009 09:49)

↑ Petuhik:
Ta tvoje čísla vychází z tohoto:
$65^2+y^2=z^2\nl65^2=z^2-y^2\nl65^2=(z+y)(z-y)\nl5^2\cdot13^2=(z+y)(z-y)\nlz+y=13^2\nlz-y=5^2\nlz+y=169\nlz-y=25\nl2z=194\nlz=97\nly=72$
Čísla budou:
$(65\,;\,72\,;\,97)$

Petuhik · 07. 12. 2009 21:59

nějak mi ale pořád nejde na mozek, jak získám při výpočtu ve výsledku všechny ty 4 pythagoryjské trojce.

FailED · 07. 12. 2009 22:23

↑ Petuhik:

$65^2+b^2=c^2$
$5\cdot5\cdot13\cdot13=(c+b)(c-b)$
Teď bych si rozepsal všechny možnosti (c-b) a (c+b), protože b>0, můžou to být
(5)*(5*13*13)
(5*5)*(13*13)
(13)*(13*5*5)
a triviální (1)*(5*5*13*13)

Pro každou možnost vyřešíš soustavu 2 rovnic o 2 neznámých, například pro první možnost to bude
$c-b=5$
$c+b=5\cdot13\cdot13$
$c=5+b$ , dosadíš do druhé
$2b+5=845$
$b=420$
$c=425$
Dostali jsme první trojici (65, 420, 425)

Petuhik

FailED[/re]

děkuji moc, tak tohle jsem pochopila hned, a je možné, že když jsem to 65 dala na místo b, tak že vyšly stejný čísla, akorát přehozený? (420,65,425), nebo u toho je opět jiný postup:-(

FailED · 08. 12. 2009 15:09

↑ Petuhik:
Sčítání je komutativní - $a^2+b^2=b^2+a^2$ , proto Ti musí vyjít stejná čísla.

Petuhik · 08. 12. 2009 15:31

↑ FailED:

ajooo.......děkuju mocc.....sem trubka. A jak to teda bude s tím, že když bude 65 na přeponě, tedy a na 2 + b na 2 = 65 ? Měly by vyjiít opět 4 trojice?

FailED · 08. 12. 2009 15:48

↑ Petuhik:
Když je 65 přepona, budeš muset odečítat čtverce od $65^2$ a testovat jestli ten rozdíl je čtverec, $a^2+b^2$ nejde rozložit na součin.

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2008 20:23

pytagorove trojice

#2 26. 09. 2008 21:44

Re: pytagorove trojice

#3 27. 09. 2008 08:48

Re: pytagorove trojice

#4 27. 09. 2008 10:19

Re: pytagorove trojice

#5 27. 09. 2008 10:24

Re: pytagorove trojice

#6 27. 09. 2008 10:41

Re: pytagorove trojice

#7 27. 09. 2008 10:45 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:05)

Re: pytagorove trojice

#8 27. 09. 2008 11:16

Re: pytagorove trojice

#9 27. 09. 2008 11:20

Re: pytagorove trojice

#10 27. 09. 2008 11:22 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:22)

Re: pytagorove trojice

#11 27. 09. 2008 11:29

Re: pytagorove trojice

#12 27. 09. 2008 11:31 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:31)

Re: pytagorove trojice

#13 27. 09. 2008 11:42

Re: pytagorove trojice

#14 26. 11. 2009 20:33

Re: pytagorove trojice

#15 26. 11. 2009 21:10 — Editoval Chrpa (26. 11. 2009 21:11)

Re: pytagorove trojice

#16 26. 11. 2009 21:22

Re: pytagorove trojice

#17 26. 11. 2009 21:39

Re: pytagorove trojice

#18 26. 11. 2009 22:09

Re: pytagorove trojice

#19 27. 11. 2009 09:29 — Editoval Chrpa (27. 11. 2009 09:49)

Re: pytagorove trojice

#20 07. 12. 2009 21:59

Re: pytagorove trojice

#21 07. 12. 2009 22:23

Re: pytagorove trojice

#22 07. 12. 2009 23:26 — Editoval Petuhik (08. 12. 2009 00:04)

Re: pytagorove trojice

#23 08. 12. 2009 15:09

Re: pytagorove trojice

#24 08. 12. 2009 15:31

Re: pytagorove trojice

#25 08. 12. 2009 15:48

Re: pytagorove trojice

Zápatí