Matematické Fórum

darkmagic

Ahoj, mám následující zadání:
$\text{Je dána matice }A=\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & -1 \\ 2& 1 \\ \end{array} \right)\in M^{2,2}. \text{ Definujme množinu M }= \{B\in M^{2,2}; AB = BA\}$ . ( $M^{2,2}$ je prostor všech matic velikosti 2,2)

1. Potvrďte. že M je lin. podprostor $M^{2,2}$ . (úkol 2 není podstatný)
Jak na to?

Můj nápad je zde (ale nevim, jak se mi tam projeví fakt, že AB = BA):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 13. 01. 2012 23:51 — Editoval vanok (13. 01. 2012 23:55)

$\text{Je dána matice }A=\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & -1 \\ 2& 1 \\ \end{array} \right)\in M^{2,2}.$ $\text{ Definujme množinu M }= \{B\in M^{2,2}; AB = BA\}$

Rozdelil som to hore na dve casti aby sa to dalo citat.
Zatial si nedokazal co treba.

musis dokazat ze predpokladu 1° pre $C, D \in M$ $C + D = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} c_{1,1}+d_{1,1} & c_{1,2}+d_{1,2} \\ c_{2,1}+d_{2,1} & c_{2,2}+d_{2,2} \\ \end{array} \right) \in M$
MAME (podla def $M$ ) ze ak $AC=CA$ ; $AD=DA$
tak mame ( to je implikacia)
$A(C+D)=(C+D)A$ ...

NAPIS pripadne otazky, ale teraz idem spat a zajtra napisem

darkmagic

↑ vanok:
Jelikož jsem ukázal, že $C + D = \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} c_{1,1}+d_{1,1} & c_{1,2}+d_{1,2} \\ c_{2,1}+d_{2,1} & c_{2,2}+d_{2,2} \\ \end{array} \right)$ leží v $M$ , tak můžu napsat tento vztah $A(C+D)=(C+D)A$ a to už mně jednoznačně říká, že a) platí. Chápu to správně?

Pro případ b) bych napsal něco takového:
$A\cdot\omega C = A\cdot \omega \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} c_{1,1} & c_{1,2} \\ c_{2,1} & c_{2,2} \\ \end{array} \right) =A\cdot \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} \omega c_{1,1} &\omega c_{1,2} \\ \omega c_{2,1} & \omega c_{2,2} \\ \end{array} \right) =$
$=\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} \omega c_{1,1} &\omega c_{1,2} \\ \omega c_{2,1} & \omega c_{2,2} \\ \end{array} \right) \cdot A= \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} c_{1,1} & c_{1,2} \\ c_{2,1} & c_{2,2} \\ \end{array} \right) \omega \cdot A =C\omega \cdot A$
Co si myslíš o tomto?

------------------------------------------
Jěště mám jednu otázku, může mít matice v $M^{3,3}$ dimenzi = 6?
Myslím si, že počet prvků báze tohoto prostoru je nejvýše tři. Nebo se mi tady plete dimenze prostoru a hodnost matice?

vanok · 14. 01. 2012 12:00 — Editoval vanok (14. 01. 2012 12:00)

↑ darkmagic:,
1°
chyba tam maly, ale dolezity krok

co pises je ok
chyba toto
akoze mame
$AC=CA$
$AD=DA$
TAK MOZEME SCITAT TIETO DVE ROVNOSTI
co nam da
$AC+AD=CA+DA$
vdaka vlasnostiam operacii na matricach (ide o distributivitu v okruhu matic)

mame
$A(C+D)=(C+D)A$ ....

2° to je dobre az na konci, preco menit poziciu toho skalaru $\omega$

$M^{2,2}$ je vytvoreny 4my nezavyslimy prvkamy (ktore su to???) a dim je 2*2=4
podobne $M^{3,3}$ ma dim 3*3=9

otazka v rela zicii tvojim cvicenim : dim(M)=?????

darkmagic · 14. 01. 2012 12:32

↑ vanok:
Myslím, že potvrzení podprostoru mi je už nyní jasné.

---------------
$M^{2,2}$ je vytvoreny 4my nezavyslimy prvkamy (ktore su to???) Jsou to prvky $m_{1,1}, m_{1,2}, m_{2,1}, m_{2,2}$ .

Bral jsem jeden řádek = jeden prvek báze. Potom mně vycházely u $M^{3,3}$ tři prvky báze.
Vidím, že je to tedy jinak - že jeden řádek matice $M^{3,3}$ jsou tři prvky báze.

otazka v rela zicii tvojim cvicenim : dim(M)=?????:
Moje $M$ leží v $M^{2,2}$ , našel jsem tuto matici $B=\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 & -1 \\ 2& 0 \\ \end{array} \right)$ , která splňuje $AB=BA$ .
Rozepsal jsem to takto $0\cdot \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & 0 \\ 0& 1 \\ \end{array} \right) + (-1)\cdot \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 & 1 \\ 0& 0 \\ \end{array} \right) + 2\cdot \left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 0 & 0 \\ 1& 0 \\ \end{array} \right)$ a řekl bych, že dim(M) = 3.

vanok · 14. 01. 2012 13:35 — Editoval vanok (14. 01. 2012 13:36)

↑ darkmagic:,
Porozmyslaj o poslednej odpovedi.
Treba hladat $B$ take ze $AB=BA$
vo vseobecnom pripade ( cize najst vsetki take matice $B$ co komutuju z $A$ )
kde
$B=\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} a & b \\ c& d\\ \end{array} \right)$

darkmagic · 14. 01. 2012 14:57

↑ vanok:
Je to fakt, já jsem našel jen jeden konkrétní případ, takže tedy obecně dim(M) = 4.
Díky za tvé odpovědi.

vanok · 14. 01. 2012 15:02

NIE, NIE
Treba najst podmienku pre B... to do system 4roch lin rovnic... a podla riesenia mozes nieco povedat ale urcite nie 4.

darkmagic · 14. 01. 2012 15:27

↑ vanok:
Počítal jsem to obecně s b11, b12, b21 a b22 a vyšla mně homog. soustava dvou rovnic a 4 neznámých.
$b_{11} - b_{22} = 0$
$-2b_{12} - b_{21} = 0$

Z té první rovnice bych ale mohl říct, že prvky b11 a b22 jsou vždy stejné a proto bude dim(M) nejvýše 3.
Z druhé rovnice bych řekl, že pokuď b12 = -1/2 b11, tak dim bude 2. V ostatních případech bude dim = 3.

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2012 23:27 — Editoval darkmagic (13. 01. 2012 23:29)

Potvrzení lin. podprostoru

#2 13. 01. 2012 23:51 — Editoval vanok (13. 01. 2012 23:55)

Re: Potvrzení lin. podprostoru

#3 14. 01. 2012 11:36 — Editoval darkmagic (14. 01. 2012 11:37)

Re: Potvrzení lin. podprostoru

#4 14. 01. 2012 12:00 — Editoval vanok (14. 01. 2012 12:00)

Re: Potvrzení lin. podprostoru

#5 14. 01. 2012 12:32

Re: Potvrzení lin. podprostoru

#6 14. 01. 2012 13:35 — Editoval vanok (14. 01. 2012 13:36)

Re: Potvrzení lin. podprostoru

#7 14. 01. 2012 14:57

Re: Potvrzení lin. podprostoru

#8 14. 01. 2012 15:02

Re: Potvrzení lin. podprostoru

#9 14. 01. 2012 15:27

Re: Potvrzení lin. podprostoru

Zápatí