Matematické Fórum

lukasgal · 16. 01. 2012 09:52

Zdravím všechny zběhlé matematiky, prosím vás o radu.
Nevím si rady s tímto:
Když mám např. $2sin^2x-5cosx+1=0$ , tak mi vyjdou dva kořeny $x_1=1$ $x_2=-\frac{1}{2}$ . Pak tedy v tabulkách najdu hodnotu pro oba kořeny $\frac{\pi}{2}$ a $\frac{7\pi}{6}$ Problém je, že tam má být ještě jedna hodnota $\frac{11\pi}{6}$ Odkud vyčtu, že úloha má tři řešení? Jakým způsobem se to tedy řeší? Díky.

Cheop · 16. 01. 2012 09:58 — Editoval Cheop (16. 01. 2012 10:37)

↑ lukasgal:
z řešení $\sin\,x=-\frac 12$ - ve kterém kvadrantu je sinus záporný ?
Obrázek:

lukasgal · 16. 01. 2012 10:01

↑ Cheop:
3, 4. Jo takhle, tzn. že výsledkem je daná hodnota ve všech čtyřech kvadrantech?

zdenek1 · 16. 01. 2012 10:17

↑ lukasgal:
1) rovnice nemá řešení $x_1=1$ a $x_2=-\frac12$ , ale
$\cos x_1=\frac12$ a $\cos x_2=-3$ , přičemž to druhé nemá řešení

2) že je tam víc (nekonečně mnoho) řešení bys měl vědět. Poznáš to například z grafu funkce kosinus

všechny body, kde červená přímka protíná modrý graf, jsou řešení.

Která to konkrétně jsou najdeš v tabulkách, ale tam najdeš jen to první v kladné části osy $x$ , to druhé v příslušné periodě najdeš z jednotkové kružnice

V tabulkách najdeš, že $\cos x=\frac12\ \Rightarrow\ x_1=\frac\pi3$ , přidáš periodu, ta je v tomto případě $2\pi$ , takže $x_1=\frac\pi3+2k\pi$ , $k\in\mathbb Z$

a pak si dopočítáš $x_2$ . $x_2=2\pi-x_1=\frac{5\pi}3+2k\pi$ , $k\in\mathbb Z$

lukasgal · 16. 01. 2012 10:36

↑ zdenek1:
Super, děkuji už rozumím (snad). Já jsem uvedl špatné výsledku u toho příkladu. Omylem jsem opsal výsledky od dalšího příkladu, který jsem počítal.

Ještě bych měl jeden dotaz. Nevíte někdo, proč wolframalpha uvádí výsledek ve formě $\frac{1}{3}(6\pi n-\pi)$ Díky.

zdenek1 · 16. 01. 2012 10:44

↑ lukasgal:
protože je tak naprogramovaný.

Ale $\frac13(6\pi n-\pi)=2\pi n-\frac\pi3$ a to je stejný výsledek jako $\frac{5\pi}3+2\pi n$ . Zase je to dobře vidět na grafu.Těch $\frac{5\pi}3$ je ten průsečík u 4.8, ten $-\frac\pi3$ je ten průsečík u -1.2, ale protože se to po periodě opakuje, tak je to stejné. $-\frac\pi3+2\pi=\frac{5\pi}3$