Matematické Fórum

THE_JOHN · 19. 01. 2012 10:20

Dobrý deň, mám problém s výpočtom týchto neurčitých integrálov. Výsledky si viem samozrejme zistiť, pre mňa je dôležitejší však postup. Mám ich medzi úlohami, kde to treba riešiť substitúciou.

\int_{}^{}(2^x)/((1-4^x)^(1/2))

\int_{}^{}1/(2*x^2+2*x+5)

Pri tom druhom by som to možno vedel vypočítať, keby pri kvadratickom člene nebola 2-jka, upravil by som si to na štvorec, ale keď je to tak ako teraz tak neviem.

Ďakujem pekne za pomoc.

rleg · 19. 01. 2012 10:59 — Editoval rleg (20. 01. 2012 09:58)

Nešel by ten druhý takto?

$\int \frac{1}{2x^2+2x+5}dx=\int \frac{1}{(2x^2+2x+\frac12)+\frac92}dx= \int \frac{1}{2(x^2+x+\frac14)+\frac92}dx=\int \frac{1}{2(x+\frac12)^2+\frac92}dx=\nl=\int \frac{1}{\frac92(\frac{(x+\frac12)^2}{\frac94}+1)}dx=\frac29 \int \frac{1}{(\frac{2x+1}{3})^2+1}dx$

EDIT Pořád jsem si myslel, že se ten můj integrál liší od řešení, které tu dal Honzc. Příště nesmím dělat ukvapené závěry, nýbrž substituci udělat na papíře a nedělat ji zbrkle v hlavě.

$\frac{2x+1}{3}=t \nl 2x=3t+1 \nl dx=\frac32 dt$ $\frac29 \int \frac{1}{t^2+1} \cdot \frac32 dt =\frac29 \cdot \frac32 \cdot \arctan{t} +C=\frac13 \arctan{\frac{2x+1}{3}} +C$

Honzc · 19. 01. 2012 11:27 — Editoval Honzc (19. 01. 2012 12:06)

↑ THE_JOHN:
1. Jestli je to takto: $\int_{}^{}\frac{2^x}{(1-4^x)^\frac{1}{2}}dx$
Pak $\int_{}^{}\frac{2^x}{(1-4^x)^\frac{1}{2}}dx=\int_{}^{}\frac{2^x}{\sqrt{1-{2^{2x}}}}dx=$
$=|2^{x}=t,2^{x}dx=\frac{dt}{\ln 2}|=\frac{1}{\ln 2}\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt=$
$=\frac{arc\sin t}{\ln 2}=\frac{arc\sin 2^{x}}{\ln 2}+c$
2. $\int_{}^{}\frac{1}{2x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}dx=$
$=\frac{1}{2}\frac{2}{3}arc\text{tg}\frac{2(x+\frac{1}{2})}{3}=\frac{1}{3}arc\text{tg}\frac{2x+1}{3}+c$

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2012 10:20

Výpočet integrálov

#2 19. 01. 2012 10:59 — Editoval rleg (20. 01. 2012 09:58)

Re: Výpočet integrálov

#3 19. 01. 2012 11:27 — Editoval Honzc (19. 01. 2012 12:06)

Re: Výpočet integrálov