Matematické Fórum

masinfira · 21. 01. 2012 20:09

rád bych se zeptal a tento příklad:

Nalezněte všechny kořeny polynomu
$3x^{9}+10x^{8}+36x^{7}+59x^{6}+88x^{5}+48x^{4}-19x^{3}-90x^{2}-108x-27$

Nalezněte všechny komplexní kořeny uvedeného polynomu (tohle nevím vůbec jak se dělá)
Zapište polynom jako součin ireducibilních polynomů nad tělesem $\mathbb{R}$

Umím nalézt mn. řešení pomocí prvního a posledního koeficientu (tedy řešení racionálních) a pak použít Horn. schéma. Tady vyjdou ty kořeny racionální stejně jako celočíselné (tedy 1, -1, 3, -3) - kdyžtak mě někdo prosím opravte. Když vyzkouším H.S. tak mi vyjde, že pol. má kořeny 1 a -1 (jednonásobné). Tedy dále řeším jen polynom:
$3x^{7}+10x^{6}+39x^{5}+69x^{4}+127x^{3}+117x^{2}+108x+27$

a tady jsem v koncích. Kdyby měl někdo radu, budu vděčen.

drabi · 21. 01. 2012 22:41

↑ masinfira:

sice nevím, jak to řešit podle H.S., ale možná ti pomůže toto:
Odkaz

jinak já bych to asi dělala složitě tak, že bych polynom dělila nejdřív (x-1), pak (x+1), protože tyhle kořeny jsou celkem zřejmé a následně to půjde upravit na tvar: (3 x+1) (x^2+x+3)^3 = 0, odkud získáš zbylé kořeny

masinfira · 21. 01. 2012 23:25

Ten vzorec je fajn... ale potřeboval bych vědět, jak se k tomu dopracovat bez použití Wolframu... a rozhodně v tom polynomu 7mého stupně nejsem schopen vidět, že je možné ho vydělit buď (3 x+1) nebo (x^2+x+3) ... to, jak na to přijít obecně bych právě potřeboval zjistit.

drabi · 22. 01. 2012 00:47

↑ masinfira:

jasně, omlouvám se, neuvědomila jsem si to..
každopádně obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky, takže jak jsi říkal, pomocí Hornerova schématu a Newtonovy metody:

Algoritmus pro nalezení kořenů polynomu pn:
for m = n downto 1 do
Najdi kořen r polynomu $p_m$ (Newtonova metoda)
Vyčísli koeficienty $q_{m-1} (x, r)$ (pomocí Hornerova schematu)
$p_{m-1} := q_{m-1}$
end for

Hornerovo schéma:
$s = a_n$ ;
for i = n − 1 downto 0 do
$s = s x + a_i$ ;
end for
$p_n(x) = s$ , počet násobení n.

snad to pomůže, ještě se na to kouknu, jak to aplikovat na tenhle konkrétní případ.. Jen otázka: to máte dělat jako ručně?

drabi · 22. 01. 2012 00:57

popřípadně koukni sem: Odkaz

bohužel jinak ti už nedokážu pomoct, numerika není zrovna moje silná stránka, tak snad něco z toho, co jsem napsala, ti pomůže
hodně štěstí

masinfira · 22. 01. 2012 10:22

Určitě se neomlouvej! Ja jsem rád, že se mi někdo snaží pomoct, o tom žádná. Jinak máme to udělat na papíře a navíc to asi nemáme udělat numericky... podle mě prostě jen rozložit na součin, co jde.

jardofpr · 22. 01. 2012 11:14

↑ masinfira:

ahoj, pri hľadaní racionálnych koreňov pomocou prvého a posledného koeficientu si nenašiel všetky

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2012 20:09

Hledání kořenů polynomu

#2 21. 01. 2012 22:41

Re: Hledání kořenů polynomu

#3 21. 01. 2012 23:25

Re: Hledání kořenů polynomu

#4 22. 01. 2012 00:47

Re: Hledání kořenů polynomu

#5 22. 01. 2012 00:57

Re: Hledání kořenů polynomu

#6 22. 01. 2012 10:22

Re: Hledání kořenů polynomu

#7 22. 01. 2012 11:14

Re: Hledání kořenů polynomu

Zápatí