Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 22. 01. 2012 21:50 — Editoval Mirgeee (22. 01. 2012 21:52)
Jak dokazovat?
Zdravím.
Nebudu žádat o pomoc s žádnou specifickou úlohou, můj dotaz je spíše obecného charakteru.
Článek (mimochodem celkem pěkně napsaný) na české wikipedii o matematickém důkazu tvrdí, že matematický důkaz "nepřipouští žádný postup založený na názoru, experimentu, intuici či zkušenosti". Nevím, nakolik je tato formulace přesná, toto hodnocení nechám na vás.
Sám totiž o důkazech nemám právo říkat nic, neboť se nacházím na střední škole humanitního zaměření, rok a půl před maturitou. Nicméně o matematiku a vědy s ní spojené se už nějaký ten pátek z koníčku zajímám, a nedávno jsem natrefil na první poměrně komplexní důkazy (v diskrétní matematice a mat. soutěžích). Musím se přiznat, že moje schopnost cokoli dokázat je celkem chabá.
Když čtu některé "profesionální důkazy", nepřestávají mě okouzlovat, ale i udivovat, některé, na první pohled téměř až "nadhodilé" důkazní kroky, u nichž si nedokážu představit, jak "kouzelníkovi" vůbec přišly na mysl. Že by intuice? Experiment? Nevím.
Nevím jestli je to zrovna dobrý příklad toho, co myslím, ale například důkaz AG nerovnosti, nebo důkaz(y) Erdős–Szekeresovy věty obsahují (pro mě) dost záhadné kroky (vím, že může být mnohem hůř :)).
Takže můj dotaz je jednoduchý: jak to dělají? Jak dokazovat?
Offline
#2 22. 01. 2012 22:58 — Editoval FailED (22. 01. 2012 22:58)
Re: Jak dokazovat?
Ahoj,
z hlediska formální logiky je důkaz nějaká posloupnost formulí, kde každá je z předchozích odvozena pomocí nějakého axiomu nebo dříve dokázaného pravidla. Přitom první formule je axiom nebo dříve dokázané tvrzení a poslední je dokazované tvrzení.
V matematice je to stejné, začne se něčím jednoduchým a z toho se odvozuje dokazované.
S vymýšlením důkazu to však často nemá nic společného, do takové podoby se to vždycky jen přepíše, aby to nikdo nepochopil :)
Postupuje se odzadu - vezme se dokazované tvrzení a zkouší se nějak přeformulovat. Vždycky si to nějak upravíš a řekneš si "stačilo by mně, kdybych dokázal tohle". Takhle to chvíli upravuješ (tady už jsou potřeba ty zkušenosti, které ti pomůžou poznat, jestli se ubíráš správným směrem), a nakonec se dostaneš k něčemu, co už je dokázat jednoduché. Když budeš chtít, aby tvůj důkaz byl správný po logické stránce, přepíšeš to naopak.
Offline
#3 23. 01. 2012 00:01
Re: Jak dokazovat?
tá formulácia z wikipédie má svoje dôvody. povedzme taký spomínaný experiment je plne postačujúci vo fyzike alebo chémii, ale v matematike to nestačí. presne to robí ten podstatný rozdiel medzi matematikou a inou vedou. počas hľadania dôkazu možeš robiť akékoľvek matematické experimenty aj čokoľvek iné, ale v samotnej formulácii dôkazu už nie sú prípustné. to isté sa týka aj skúsenosti, názoru a intuície. skúsenosť hovorí, že 1+1=2. no môže existovať dôkaz v nejakej inej sústave (binárnej), kde 1+1=10 a to je predsa v priamom rozpore s našou každodennou skúsenosťou. práve požadovanie matematických dôkazov bez priestoru na prevažujúci názor, experiment, intuíciu a skúsenosť, robí z matematiky kráľovnú všetkých vied. dá sa povedať, že matematika nie je založená na ničom, iba na čistej pravde. a to ju odlišuje od všetkého ostatného. z filozofického hľadiska je matematika jazykom samotného Boha.
Offline