Matematické Fórum

FlyingMonkey · 28. 01. 2012 13:42

Dobrý den,

ty mat. indukce mi dělají poměrně problémy:

Dokažte matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla n platí:

A)

2+4+6+...+2n = n(n+1)

Tak nejdřív dokazuju pro n=1:

Můžu to takhle udělat?

ty čísla budou nekonečno, ale vždycky vyjádřené tím n(n+1), takže si je můžu odmyslet..
2n = n(n+1)
2*1 = 1 * 2
platí

Potom se snažím dokázat, že když to platí pro n, platí to i pro n+1

Tady mám problém šel jsem na to takhle:
$2(n+1) = (n+1) (n+2)$

roznásobil jsem a nevěděl jsem jak dát :)

Jakože nějak asi postrádám tu hlavní myšlenku, nevím, do jakého tvaru to mám dostat.
Snažil jsem se prostě, aby se mi ty strany rovnaly (mohl jsem říct, že to platí) ...

Díky :)

marnes · 28. 01. 2012 14:15

↑ FlyingMonkey:

2+4+6+...+2n = n(n+1)

nejdříve dokážeš pro jedničku tak, že dosadíš jen za výrazy s proměnnou

2n = n(n+1)
2.1=1.(1+1)
2=2 je splněno, můžeš pokračovat dál

předpokládáš, že to platí pro libovolné přírozené číslo k

místo písmenka n napíšeš k

2+4+6+...+2k = k(k+1)

a dokážeš pro n=k+1

za n do předpisu dosazuješ k+1

2+4+6+...+2n = n(n+1)

2+4+6+...+2(k+1) = (k+1)((k+1)+1) a nyní necháváš pravou stranu být( jen ji upravíš) a pracuješ s levou stranou

2+4+6+...+2(k+1) = (k+1)(k+2) musíš si uvědomit, že před členem 2(k+1) je člen 2k, takže to mohu napsat takto

2+4+6+...+2k+2(k+1) = (k+1)(k+2) a podle předpokladu je 2+4+6+...+2k = k(k+1), takže to nahradím

k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2) na leve straně je dvojčlen, který obsahuje (k+1) vytkneme

(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2) a důkaz je hotov

Annnnnd · 28. 01. 2012 14:22

a nebo jsem zkusil jit na to pres posloupnosti - resp. AP. a take se da udelat dukaz.

FlyingMonkey · 28. 01. 2012 16:21

thx :) tohle v tom ale asi sam nikdy neuvidim hah :D

cya!

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2012 13:42

Mat. indukce

#2 28. 01. 2012 14:15

Re: Mat. indukce

#3 28. 01. 2012 14:22

Re: Mat. indukce

#4 28. 01. 2012 16:21

Re: Mat. indukce

Zápatí