Matematické Fórum

harryharry

Přeji krásný podvečer,

prosím o kontrolu postupu následujícího příkladu, wolfram mi říká, že ho mám špatně

EDIT : JE ŠPATNĚ 1. DERIVACE - nulový bod existuje

FlyingMonkey · 28. 01. 2012 17:40

Ahoj, minimum a maximum bych řekl, že budou ty nulové body ;) ty šipky ti dobře znázorňují, že se to v tom bodě mění ;)

Ale nekontroloval jsem to :)

Zatím

xfastx · 28. 01. 2012 17:46

Je špatně vyřešená ta první derivace. $e^{x}>0$ pro $x\in \mathbb{R}$ ale $sinx + cos x$ může být rovno nule. Zkus zjistit v jakých bodech. Pokud k nim dojdeš, pak už snadno dohledáš lokální extrémy a monotonii fce.

harryharry

Děkuji ti! Nakreslil jsem si graf a snadno z něj vyčetl, že se součet fcí rovná nule v 3/4 pí a 7/4 pí. Bohužel jsem na to přišel "ok oka", jak to dosadit do nějaké smysluplné rovnice? Další postup už je jednoduchý.

Jen se ještě zeptám - když mi vyjde určitém bodě hodnota druhé derivace nula, znamená to, že daný bod není extrémem (?). Platí to VŽDY?

A pokud nemám inflexní bod, postupuji tak, že si v druhé derivaci najdu body podezřelé z maxim?

xfastx · 28. 01. 2012 18:25

Myslím si, že rovnice $sinx+cosx=0$ ev. $sinx=-cosx$ je zcela smysluplná a korektní.
Co se týče derivací, máš to trochu popletené.
První derivace - je-li rovna nule, jsou zde body podezřelé z lokálních extrémů (maxima, minima)
- je-li větší než nula, je funkce v daném intervalu rostoucí
- je-li menší než nula, je fce v daném intervalu klesající

Druhá derivace - je-li rovna nula, jsou zde inflexní body (body, kde se mění fce z konvexní na konkávní nebo naopak)
- je-li větší než nula, je v daném intervalu fce konvexní
- je-li menší než nula, je v daném intervalu fce konkávní

harryharry · 28. 01. 2012 18:33

Dík za objasnění, neměl jsem popletené derivace, ale pojmy.

Co tedy dělám, pokud je první derivace vždy kladná?

xfastx · 28. 01. 2012 18:37

Pokud je první derivace vždy kladná, pak je funkce na celém definičním oboru rostoucí a nemá žádný extrém. To ale není případ tvé funkce.

harryharry · 28. 01. 2012 19:01

V případě funkce
$f(x) = e^x (sin 2x + 4)$
Je první derivace rovna
$f'(x) = e^x (sin 2x + 2cos 2x + 4)$
Obsah závorky
$(sin 2x + 2cos 2x + 4)>0$
Fce je tedy rostoucí na celém definičním oboru, nemá globální maxima a ni minima a lze o ní prohlásit, že je konvexní na celém definičním oboru. (?)

xfastx · 28. 01. 2012 19:56

No konvexní na celém D(f) rozhodně není, k tomu aby se to dalo určit, se musí udělat druhá derivace, jak jsem psal výše.... Jinak bude rostoucí a nemá extrémy.

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2012 17:32 — Editoval harryharry (28. 01. 2012 18:17)

Monotonie fce s kladnou 1. derivací

#2 28. 01. 2012 17:40

Re: Monotonie fce s kladnou 1. derivací

#3 28. 01. 2012 17:46

Re: Monotonie fce s kladnou 1. derivací

#4 28. 01. 2012 18:14 — Editoval harryharry (28. 01. 2012 18:18)

Re: Monotonie fce s kladnou 1. derivací

#5 28. 01. 2012 18:25

Re: Monotonie fce s kladnou 1. derivací

#6 28. 01. 2012 18:33

Re: Monotonie fce s kladnou 1. derivací

#7 28. 01. 2012 18:37

Re: Monotonie fce s kladnou 1. derivací

#8 28. 01. 2012 19:01

Re: Monotonie fce s kladnou 1. derivací

#9 28. 01. 2012 19:56

Re: Monotonie fce s kladnou 1. derivací

Zápatí