Matematické Fórum

easy · 29. 01. 2012 19:18

Zdravím,

už pár večerů se pokouším spočítat tuto limitu ale bez úspěchu.

$\lim_{x\to1} \frac{x^{\frac{1}{3}} -1}{x^{\frac{1}{2}} -1}$

Snažil jsem se výraz usměrnit a jinak upravit ale nedaří se mi upravit jmenovatele tak, aby po dosazení limity nevycházela nula.

Poradil by mi prosím někdo jak daný výraz upravit aby se dala limita vypočítat?

Děkuji, easy

Sulfan · 29. 01. 2012 19:23 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 19:24)

↑ easy:
Ahoj, možná pomůže napsat si to pomocí odmocnin jako
$\underset{x \to 1 }{\lim } \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$
a pak rozšířit vhodnými výrazy, abychom v čitateli i jmenovateli dostali výraz $x-1$ (pomocí vztahů $a^{3}-b^{3}$ a $a^{2}-b^{2}$ )

Mihulik

Ahoj,
máme $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ a $a^3-b^3=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ a z toho tedy:
$\lim_{x\to1}\frac{x^{\frac{1}{3}}-1}{x^{\frac{1}{2}}-1}=\lim_{x\to1}\frac{\frac{x-1}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}}{\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}+1}}=\lim_{x\to1}\frac{x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}=\frac{2}{3}$

Edit: Děkuji za upozornění - opraveno

easy · 29. 01. 2012 19:38

Už jsem se také dopočítal, děkuju.

↑ Mihulik:

Nejspíš je to překlep ale ta lim = 2/3.

Btw, Mihulik z Tábora?

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2012 19:18

Limita

#2 29. 01. 2012 19:23 — Editoval Sulfan (29. 01. 2012 19:24)

Re: Limita

#3 29. 01. 2012 19:33 — Editoval Mihulik (29. 01. 2012 20:01)

Re: Limita

#4 29. 01. 2012 19:38

Re: Limita

Zápatí