Matematické Fórum

check_drummer · 29. 01. 2012 20:54

Ahoj,
začnu obecně a pokud by byl text nejasný, doplním detaily (které však nyní mohou být zbytečné). Tedy - mějme grupu G s generátorm g, grupu H s generátoem H. Uvažujme grupu K:=GxH (podobnou kontrukci můžeme vidět u tvz. přímého nebo polopřímého součinu grup), jejíž prvky jsou tedy uspořádané dvojice (gi;hj), gi z G, hj z H a kde grupová operace je definována "po složkách".
V textu, který se této problématiky týká, jsem však našel výrazy určující prvek z K, které jsou např. tvaru g*h, g*h*h, apod. Ovšem členy tohoto výrazu nejsou uspořádané dvojice (jak by dle definice k měly být), což mě trošku mate. Rád bych se zeptal, zda není v podobných případech zvykem ztotožňovat např. (g;1) a g, resp. (1,h) a h - potom by např. první výraz g*h byl tvaru (g;1)*(1;h) - a pak by bylo vše jasné.

Díky za odpovědi, případně zodpovím dojasňující otázky.

vanok · 04. 02. 2012 13:02 — Editoval vanok (04. 02. 2012 13:03)

Ahoj ↑ check_drummer:,
Toto je ozaj zaujimava otazka.

Pises toto:
mějme grupu G s generátorm g, grupu H s generátoem H. Uvažujme grupu K:=GxH (podobnou kontrukci můžeme vidět u tvz. přímého nebo polopřímého součinu grup), jejíž prvky jsou tedy uspořádané dvojice (gi;hj), gi z G, hj z H a kde grupová operace je definována "po složkách".

Co sa tyka priameho sucinu mame dokonca viac:
Pre kazde 2 grupy $G; H$ ; ich priamy sucin $K=G X H$ je jednoducho kartesiansky sucin $G$ a $H$ , zo zakonom $(g;h)(g';h')=(gg';hh')$
$G$ a $H$ su potom respektivne isomorfne z
$\overline{G}= \{ (g;1)| g \in G \}$ a
$\overline{H}= \{ (1;h)| h \in H \}$ .
Naviac je jednoduche vidiet ze
$\overline{G}$ ako aj $\overline{H}$ su normalne v $K$
a ze
$\frac K{\overline{G}}\simeq H$ a
$\frac K{\overline{H}}\simeq G$
Priklad:
Ak p, q su nesudelitelne mame
$\frac {\mathbb{Z}}{pq\mathbb{Z}}\simeq \frac {\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}X\frac {\mathbb{Z}}{q\mathbb{Z}}$
Pozor to neplati ak p, q nie su nesudelitelne.
Mame napriklad $\frac {\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}$ nie je isomorfna z $V_4=\frac {\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}X\frac {\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$

Ak mas na toto otazky, napis.

A o polo-priamom (semi-direct) sucine napisem neskor, lebo to je dost dlhe.

vanok · 05. 02. 2012 19:14

↑ check_drummer:
Co sa tyka "semidirect product"
tu je celkom dobre vysvetlenie:
http://en.wikipedia.org/wiki/Semidirect_product
Ale cim skor to tu doplnim, aby to bolo este jasnejsie.

vanok · 07. 02. 2012 20:34 — Editoval vanok (07. 02. 2012 20:56)

Pouzijem tie iste notacie ako v prispevku Wikipedia...co umozni lahsie sledovat tento dokument.
Uvedomme si najprv, ze nas problem je :
Bud $G$ grupa, $N$ normalna podgrupa grupy $G$ a $\frac GN$ faktorová grupa $G$ podle normalnej podgrupy $N$
Co hladame je zo znalosti $N$ a $\frac GN$ zrekonstituvat grupu $G$ .

Vsebecny problem je ak su zname dve grupy $N$ a $H$ najst vsetky grupy $G$ , take aby toto schema bolo exaktne:
$1\longrightarrow N \longrightarrow G \longrightarrow H \longrightarrow 1$
Vtedy sa hovori ze taka $G$ je EXTENTION $N$ na $H$ ( ale niekde sa to vola aj $H$ na $N$ )
Tento vseobecny problem je komplikovany...( cf. kniha Hall:Theory of groups$)
Tu ako naznacil kolega ↑ check_drummer: si pozrieme na dva specialne jednoduche pripady:
priamy sucin grup, a polopriamy sucin grup.
Priamy sucin sme uz dost popisali.
Na polopriamy sucin, tu dame navyse, ako vo Wikipedii, nejake pozmamky, co pomozu lepsie pochopit tento pojem.

vanok · 08. 02. 2012 14:00 — Editoval vanok (08. 02. 2012 14:01)

Ked citam anglicku verziu, tak sa mi to zda velmi dobre vysvetlene ( tak pridam len niekolko malo komentarov, co mozu byt uzitocne)

Semidirect products and group homomorphisms

Let G be a semidirect product of the normal subgroup N and the subgroup H.
Let Aut(N) denote the group of all automorphisms of N.
The map φ : H → Aut(N) defined by φ(h) = φh, where $\varphi h(n) = hnh^{-1}$ for all h in H and n in N, is a group homomorphism.
Together N, H and φ determine G up to isomorphism, as we show now.

Given any two groups N and H (not necessarily subgroups of a given group) and a group homomorphism φ : H → Aut(N), there is a new group $N\rtimes_{\varphi}H$ (or simply $N\times_{\varphi}H$ ), called the semidirect product of N and H with respect to φ, defined as follows.

As a set, $N\rtimes_{\varphi}H$ is the cartesian product $N × H$ .
Multiplication of elements in $N\rtimes_{\varphi}H$ is determined by the homomorphism φ. The operation is

$*\colon (N\rtimes_{\varphi} H)\times(N\rtimes_{\varphi} H)\to N\rtimes_{\varphi} H$

defined by

$(n_1, h_1)*(n_2, h_2) = (n_1\varphi_{h_1}(n_2), h_1h_2)$

for n1, n2 in N and h1, h2 in H.

This defines a group in which
the identity element is $(e_N, e_H)$
and the inverse of the element (n, h) is $(\varphi h^{–1}(n^{–1}), h^{–1})$ .
Pairs $(n,e_H)$ form a normal subgroup isomorphic to N, while pairs $(e_N, h)$ form a subgroup isomorphic to H.
Presnejsie $N\rtimes_{\varphi}H$ ma dve podgrupy
$\overline{N}=\{(n,e_H)| n \in N\}$ je isomorfne z $N$ (ktora je normalna v $N\rtimes_{\varphi}H$
a $\overline{H}=\{(e_N, h)| h \in H\}$ je isomorfne z $H$ ( vseobecne nie je normalna v $N\rtimes_{\varphi}H$ )
The full group is a semidirect product of those two subgroups in the sense given above.

vanok · 11. 02. 2012 17:12 — Editoval vanok (11. 02. 2012 20:41)

Ani v tejto casti netreba nic pridavat

Conversely, suppose that we are given a group G with a normal subgroup N and a subgroup H, such that every element g of G may be written uniquely in the form g=nh where n lies in N and h lies in H.
Let φ: H → Aut(N) be the homomorphism given by $\varphi(h) = {\varphi}_h$ , where

$\varphi _h(n) = hnh^{- 1}$

for all n in N and h in H. Then G is isomorphic to the semidirect product $N\rtimes_{\varphi}H$ ; the isomorphism sends the product nh to the tuple (n,h).
In G, we have the multiplication rule

$(n_1,h_1)(n_2,h_2) = (n_1(h_1n_2h_1^{-1}),h_1h_2)$ .

A version of the splitting lemma for groups states that a group G is isomorphic to a semidirect product of the two groups N and H if and only if there exists a short exact sequence

$1\longrightarrow N \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\beta}\ \, G \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\alpha}\ \, H \longrightarrow 1$

and a group homomorphism γ : H → G such that $\alpha \circ \gamma = \operatorname{id}_H$ , the identity map on H. In this case,
φ : H → Aut(N) is given by $\varphi(h) = {\varphi}_h$ , where

$\varphi h(n) = {\beta}^{-1}(\gamma (h)\beta (n) {\gamme}(h^{-1}))$ .

If φ is the trivial homomorphism, sending every element of H to the identity automorphism of N, then $N\rtimes_{\varphi}H$ is the direct product $N \times H$ .

Poznamky:
A) $G$ je aj tu bijektivne z $N \times H$ ako mnozinovy sucin
B) "nasobenie" nie je to iste ako v pripade priameho sucinu. tu je
$(n_1,h_1)(n_2,h_2) = (n_1(h_1n_2h_1^{-1}),h_1h_2)$
C) operacia z $H$ na $N$ , nie je len mnozinova, $H$ operuje automorfizmany grup na $N$