Matematické Fórum

teress · 30. 01. 2012 19:51

Dobry den, potrebovala bych prosim poraadit s timto prikladem:

Rotační kužel má objem 100 pí dm3 a povrch 90 pí dm2. Určete poloměr r podstavy a výšku v kužele.

Děkujuu:)

Aquabellla · 30. 01. 2012 20:10

↑ teress:

Vzorce jsou: $V = \frac13 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot v$ , $S = \pi \cdot r \cdot (r + \sqrt{r^2 + v^2})$

Dle zadání: $V = 100\pi$ , $S = 90\pi$

Takže stačí řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
$100\pi = \frac13 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot v$
$90\pi = \pi \cdot r \cdot (r + \sqrt{r^2 + v^2})$

Juxtapose

Co víš o vztahu výšky tělesa a obsahu podstavy s jeho objemem?
Co víš o vztahu obsahu podstavy s jejím poloměrem?
Jaký je vztah pro výpočet povrchu tělesa?

Edit: Kolegyně byla rychlejší (a podrobnější).

zdenek1 · 30. 01. 2012 23:24

↑ teress:
$\begin{cases}300=r^2v\\90=r(r+\sqrt{r^2+v^2})\end{cases}$ vydělíš
$\frac3{10}=\frac{r+\sqrt{r^2+v^2}}{rv}$
$2rv=10r+10\sqrt{r^2+v^2}$
$3rv-10r=10\sqrt{r^2+v^2}$ umocníš
$9r^2v^2-60r^2v+100r^2=100r^2+100v^2$
$(9r^2-100)v^2-60r^2v=0$
$v[(9r^2-100)v-60r^2]=0$ protože $v=0$ jako řešení nevyhovuje, je
$(9r^2-100)v=60r^2$
$v=\frac{60r^2}{9r^2-100}$ dosadíš zpět do 1. rovnice
$300=r^2\frac{60r^2}{9r^2-100}$
$45r^2-500=r^4$
$r^4-45r^2+500=0$
$(r^2-25)(r^2-20)=0$
zbytek zvládněš.