Matematické Fórum

zdenek1 · 01. 02. 2012 10:56

Zdravím,
potřeboval bych nápovědu, pro
$\lim_{x\to 0^+}\frac{(\sqrt{x})^x-\cos \sqrt{x}}{\tan x\cdot\ln x}$

Je to z nějaké zkoušky, přišel s tím za mnou jeden zoufalec, ale nic co mě napadlo nefungovalo. (A bez Taylora.)

halogan · 01. 02. 2012 11:13

Zoufalec z Fakulty sociálních věd, že? :-)

Do čitatele přičíst a odečíst jedničku, tu odmocninu na x upravit přes exponencielu, ve jmenovateli nahradit tangens jen x (přes aritmetiku)... a už z toho čouhají dvě tabulkové limity, stačí to na ně rozdělit, párkrát použít větu o limitě složené funkci a je to.

Rumburak

Ahoj. Myslím, že pomohou úpravy

1) $\frac{(\sqrt{x})^x-\cos \sqrt{x}}{\tan x\cdot\ln x}= \frac {x}{\tan x}\cdot \frac{(\sqrt{x})^x-\cos \sqrt{x}}{x\cdot\ln x}$ ,

2) $\frac{(\sqrt{x})^x-\cos \sqrt{x}}{x\cdot\ln x} = \frac{(\sqrt{x})^x- 1}{x\cdot\ln x} + \frac{1-\cos \sqrt{x}}{x\cdot\ln x}$ ,

3) $\frac{(\sqrt{x})^x- 1}{x\cdot\ln x} = \frac {1}{2} \cdot \frac{(\sqrt{x})^x- 1}{x\cdot\ln {\sqrt{x}}}= \frac {1}{2} \cdot \frac{(\sqrt{x})^x- 1}{\ln {(\sqrt{x})^x}-\ln 1}$ .

Poslední zlomek jde k převrácené hodnotě derivace logaritmu v bodě 1.

Na obdobném principu i

4) $\frac{1-\cos \sqrt{x}}{x\cdot\ln x}= \frac {1}{\sqrt{x}\cdot \ln x}\cdot \frac{\cos 0-\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

EDIT nebo lépe

$\frac{1-\cos \sqrt{x}}{x\cdot\ln x}= \frac {1}{\ln x}\cdot \frac {1}{1 +\cos \sqrt{x}}\cdot \frac{\sin^2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2}$ .

zdenek1 · 01. 02. 2012 14:14

↑ halogan:↑ Rumburak:

Díky, dal jsem to dohromady už po nápovědě od ↑ halogan:, mě nenapadlo to + - 1. Pak už to bylo jasný.

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2012 10:56

limita

#2 01. 02. 2012 11:13

Re: limita

#3 01. 02. 2012 11:29 — Editoval Rumburak (01. 02. 2012 12:21)

Re: limita

#4 01. 02. 2012 14:14

Re: limita

Zápatí