Matematické Fórum

chaotic123

Zdravím, prosím vás, chtěl bych se zeptat, jak nejefektivněji a nejsnadněji řešit tento příklad.
$\lim_{x\to1}(x^{x}-1)*tg\frac{\pi *x}{2}$
Nejdříve ho převedu na tvar \frac{0}{0}
$\lim_{x\to1}\frac{x^{x}-1}{cotg\frac{\pi *x}{2}}$

Nepomohli byste mi prosím, jak dál? :(

jardofpr · 05. 02. 2012 14:20

↑ chaotic123:

ahoj,
ešte daj $x^{x}=e^{x\ln{x}}$ potom už môžeš derivovať

chaotic123 · 05. 02. 2012 14:38

děkuji za radu, ale pořád mi to nejde :(, nešlo by ještě něco? :D

jardofpr · 05. 02. 2012 14:40

↑ chaotic123:

no to už by malo byť ok, hoď sem tú limitu čo vyšla po použití L'h

chaotic123 · 05. 02. 2012 14:59

Já si s tím prostě nevím rady :(, vytýkám dvojku před limitu, to by snad neměl být problém, když derivuju e^(x*ln x), nevím, jestli mám derivovat vnitřní funkci, protože mi pak vychází úplný zvěrstva :X, když derivuju cotg (pi*x), můžu to derivovat jako součet cotg pí + cotg x, takže by vyšla f´(x) = -1/sin^2(pi) + -1/sin^2(x), prostě netuším :(:(

jardofpr

↑ chaotic123:

určite nemôžeš vynechávať vnútornú funkciu, aj keď vychádzajú zverstvá, načo ti bude pekný výsledok keď to nie je to čo hľadáš?
ešte mi povedz kde tú dvojku vytýkaš pred limitu?
dúfam že nie tú, čo je v argumente funkcie kotangens

podla pravidiel pre derivácie derivuješ samostatne čitateľ aj menovateľ

v čitateli máš

$(e^{f(x).g(x)}+c)'=e^{f(x).g(x)}.(f(x)g(x))'=e^{f(x).g(x)}[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]$

kde $c$ je konštanta

menovatel

$[f(g(x))]'=f'(g(x)).g'(x)$

pôjde to?

chaotic123 · 05. 02. 2012 15:34

Dobrý, díky, o tohle mi celou dobu šlo, jaké je pravidlo derivování u L´hospitala... Akorát jsem věděl, že se tam neaplikuje derivace podílu a součinu, takže jsem z tohohle pochopil, že všechny další vlastnosti derivace zůstávají zachovány. Děkuji ;)

jardofpr

↑ chaotic123:

iba to? :)
tak pre istotu

$\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} \stackrel{\text{L'h}}{=} \lim_{x \to x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

za tych podmienok ktore tam musia platit ;-)

Alkac · 05. 02. 2012 16:04

Derivace podilu a soucinu normalne plati, ale musis si uvedomit, ze derivujes zvlast citatel a zvlast jmenovatel. Pokud ti nejde derivovani tak si to limitu muzes spocitat i bez lHospitala, to u tehle zakladnich funkci jako tan,sin,ln,exp atd vetsinou neni problem.

Potrebujes vedet, ze pro x jdouci k nule plati:
lim exp(x)/x = 1
lim ln(1+x)/x = 1
lim sin(x)/x = 1
a ze cosx = sin(pi/2-x)

Pak tvoje limita:
lim (exp(xlnx)-1)*sin(pix/2)/cos(pix/2) = xlnx/sin(pi/2-pix/2) = -2/pi lim xlnx/(x-1) = -2/pi

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2012 14:12 — Editoval chaotic123 (05. 02. 2012 14:12)

Limita (L´Hospital)

#2 05. 02. 2012 14:20

Re: Limita (L´Hospital)

#3 05. 02. 2012 14:38

Re: Limita (L´Hospital)

#4 05. 02. 2012 14:40

Re: Limita (L´Hospital)

#5 05. 02. 2012 14:59

Re: Limita (L´Hospital)

#6 05. 02. 2012 15:05 — Editoval jardofpr (05. 02. 2012 15:26)

Re: Limita (L´Hospital)

#7 05. 02. 2012 15:34

Re: Limita (L´Hospital)

#8 05. 02. 2012 15:37 — Editoval jardofpr (05. 02. 2012 15:38)

Re: Limita (L´Hospital)

#9 05. 02. 2012 16:04

Re: Limita (L´Hospital)

Zápatí