Matematické Fórum

mmcmxcix · 05. 02. 2012 22:09

Dobrý den,

mám následující problém se kterým si nevím rady. Jedná se o klasický problém na procvičení Langrangeových rovnic II. druhu.

Tužka o hmotnosti $m$ se vznáši ve vodě ve svislé rovině tak, že vrchol tužky trčí nad hladinu vody. Vyšetřete pohyb tužky, když tužku zatlačíme o malý kousek $\Delta x$ do vody.

Konkrétní číselné údaje nejsou potřebné, jde o princip řešení úlohy pomocí Langrangeových rovnic II. druhu.

Moje špatné řešení:

výraz pro kinetickou energii

$T=\frac{1}{2}m(\frac{d\Delta x}{dt})^{2}$

a výraz pro potenciální energii

$V=mg\Delta x$

dosadíme do Langrangeovy rovnice II. druhu. To je špatně, protože jako výsledek mi vyjde volný pád tělesa, což náš případ určitě není.

Kde dělám chybu? Děkuji za odpovědi.

zdenek1 · 06. 02. 2012 08:01

↑ mmcmxcix:
Nemáš tam započítanou vztlakovou sílu.

mmcmxcix · 06. 02. 2012 14:06

Rozměry tužky jsou $d\cdot d\cdot l$ .

Tak tedy, na tužku působí dva síly, síla gravitační a síla vztlaková, síly jsou opačného směru. Tyhle síly jsou konzervativní, takže můžu počítat jejich potenciál (potenciální energií) jako

$W=\int_{}^{}F.dx$

Potenciální energie (nulová hladina je v rovnovážnem stavu tužky ve vodě) od gravitační síly vlyvem posunutí $\Delta x$ má velikost

$V=mg\Delta x$

Potenciální energie od vztlakové síly (nulová hladina je v rovnovážnem stavu tužky ve vodě) vlyvem posunutí $\Delta x$ je

$V=\int_{}^{}F.dx=\int_{}^{} \varrho gd^{2}\Delta x .dx=\frac{\varrho gd^{2}x^{2}}{2}$

Znaménka potenciálnich energií jsou opačné.

Když tohle dosadím do Langrangeovy rovnice, tak dostávám

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mg-\varrho gd^{2}\Delta x$

Je to správně? Jde mi o správne užití Langrangeovy rovnice.

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2012 22:09

Kmity tužky ve vodě a Langrangeovy rovnice II. druhu

#2 06. 02. 2012 08:01

Re: Kmity tužky ve vodě a Langrangeovy rovnice II. druhu

#3 06. 02. 2012 14:06

Re: Kmity tužky ve vodě a Langrangeovy rovnice II. druhu

Zápatí