Matematické Fórum

Kondr · 09. 10. 2008 22:36

Máme najít přirozené koeficienty a,b tak, aby platilo, že
$(a+b\sqrt{6})^n$ má za desetinnou čárkou alespoň 2n devítek pro všechna přirozená čísla n.

Není to těžké, napadlo mě to v souvislosti s Olinovou reakcí na říjnovou limitu.

Pavel · 10. 10. 2008 17:04 — Editoval Pavel (10. 10. 2008 17:06)

↑ Kondr:

Vyjdu-li z Marianova výpočtu říjnové limity, pak být splněna podmínka $(a+b\sqrt{6})(a-b\sqrt{6})=1$ . To znamená, že $a$ , $b$ musí splňovat Pellovu rovnici

$a^2-6b^2=1$ .

Pomocí teorie řetězových zlomků lze dokázat, že řešení této Pellovy rovnice je třeba hledat mezi nejlepšími racionálními aproximacemi (sblíženými zlomky - A. J. Chinčin, Řetězové zlomky, Praha 1952) čísla $\sqrt 6$ . Hledaná řešení $a$ resp. $b$ jsou čitatelé resp. jmenovatelé těchto aproximací zapsaných ve tvaru zlomku v základním tvaru.

Druhá jednodušší metoda spočívá v použití Brahmaguptova algoritmu. Je-li $[a_1,b_1]$ nejmenší netriviální řešení Pellovy rovnice (to je takové, že $[a_1,b_1]\neq[1,0]$ a pro všechna ostatní řešení $[a_n,b_n]$ platí $a_n>a_1$ a $b_n>a_1$ ) pak

$a_n+b_n\sqrt 6=(a_1+b_1\sqrt 6)^n,\qquad n\in\mathbb N$ .

Mezi řešení výše uvedené Pellovy rovnice patří:

$a_1=5,\qquad b_1=2\nl a_2=49,\qquad b_2=20\nl a_3=485,\qquad b_3=198\nl a_4=4801,\qquad b_4=1960\nl \vdots$

Pokud jde o počet devítek za desetinnou čárkou (alespoň 2n), tak úloze vyhovují všechny tyto dvojice počínaje $a_3=485,\qquad b_3=198$ .

Kondr · 10. 10. 2008 19:10

↑ Pavel:Díky za podrobné řešení. Jen nemusí platit $(a+b\sqrt{6})(a-b\sqrt{6})=1$ .
Brahmaguptův algoritmus generuje řešení opravdu rychle:
- zvolíme třeba $(a+b\sqrt{6})(a-b\sqrt{6})=10$ , (zvolit v tomto kroku jedničku je z mnoha důvodů lepší, ale chci ukázat obecný postup)
- vybereme některé z řešení této Pellovy rovnice -- např $(a+b\sqrt{6})=(8+3\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})^2$
- po dopočtení a=752, b=307
- ověříme, že tato dvojice také vyhoví

Pokud bychom postupovali hrubou silou, najdeme řešení ještě více.
$(a+b\sqrt{6})^n+(a-b\sqrt{6})^n$ je vždy celé. Podmínka s devítkami za desetinnou čárkou říká, že
$0<a-b\sqrt{6}<0.01$
$a>b\sqrt{6}>0.01+a$
Stačí b tipovat a hlídat, kdy má $b\sqrt{6}$ desetinnou část menší než 0.01.

Marian · 10. 10. 2008 19:21

Pro zájemce snad ještě nějaká kvalitní literatura k Pellově rovnici:

1
2

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2008 22:36

Pellovy koeficienty

#2 10. 10. 2008 17:04 — Editoval Pavel (10. 10. 2008 17:06)

Re: Pellovy koeficienty

#3 10. 10. 2008 19:10

Re: Pellovy koeficienty

#4 10. 10. 2008 19:21

Re: Pellovy koeficienty

Zápatí