Matematické Fórum

aralk09 · 10. 02. 2012 13:25

Zdravím, můžete mi prosím někdo vysvětlit rozdíl mezi první a druhou substituční metodou? Máme to ve skriptech, ale z nich to nějak nechápu, spíše mi připadne, že se jedná o to samé. Takže bych to potřebovala vysvětlit nějak polopatě. Děkuji moc.

Alkac · 10. 02. 2012 13:37

Nevim jak to mate ve skriptech, ale vetsinou jde o to, ze v jednom pripade nejakou funkci co integrujes subtituujes za promenou a ve druhem naopak promenou za funkci.

kaja.marik · 10. 02. 2012 13:38

Ono je to opravdu v podstate to same, jenom se rovnost pouziva jednou z jedne a jednou z druhe strany.

Pro hlubsi diskusi doporucuji opsat, co presne o tom mate ve skriptech.

Rumburak · 10. 02. 2012 13:48

Tentýž dotaz se řešil i zde.

aralk09 · 10. 02. 2012 15:57

↑ kaja.marik:
Tak ve skriptech je první substituční metoda definovaná jako: Nechť fce f má primitivní fci F na otevřeném intervalu J. Nechť funkce \varphi zobrazuje otevřený interval I do J a má na intervalu I konečnou derivaci. Potom F ^\circ \varphi (složená fce) je primitivní fcí k funkci (f^\circ \varphi ) \varphi^{-1} na intervalu I a platí
\int_{}^{} f( \varphi (t)) \varphi ´(t)dt=F( \varphi (t))+c, c leží v \mathbb{R} .
A ta druhá substituční metoda je: Nechť funkce \varphi zobrazuje otevřený ionterval I na intervalu J a nechť má konečnou derivaci \varphi ´se nerovná 0 na I. Je-li G primitivní k funkci (f° \varphi ) \varphi ´ na I, pak funkce G° \varphi ^{-1} je primitivní k f na J a platí
\int_{}^{} f(x)dx=\int_{}^{} f( \varphi (t)) \varphi ´(t)dt=G(t)+c=G( \varphi ^{-1} (x))+ c

↑ Rumburak:
Na to jsem se dívala než jsem sem psala, ale i tak jsem to nepochopila.

aralk09 · 10. 02. 2012 15:58

No a ke všemu se to ještě neobjevilo, tak jak mělo.

kaja.marik · 10. 02. 2012 16:01

Neco jako http://user.mendelu.cz/marik/mat-web/mat-webse9.html , vety 1.6 a 1.7 ?

aralk09 · 10. 02. 2012 16:12

↑ kaja.marik:
Jo, přesně ty.

Rumburak · 10. 02. 2012 17:06

↑ aralk09:

Výpočet podle vzorce

(1) $\int f(x(t))\,x'(t)\,\mathrm{d}t = \int f(x) \,\mathrm{d}x$

můžeme provádět buďto ve směru zleva doprava nebo zprava doleva podle toho, kterou stranu vzorce umíme určit (resp. spočítat).
Umíme-li určit integrál na pravé straně, můžeme vzorec použít k výpočtu levé strany.
Umíme-li určitt integrál na levé straně, můžeme vzorec použít k výpočtu pravé strany.

Druhou věcí je pochopit důkaz, že vzorec (1) platí - odvozuje se z věty o derivaci složené funkce .

aralk09 · 11. 02. 2012 13:32

↑ Rumburak:
Takže ta první metoda je, že když integruju nějakou fci, tak za t dosazuju "kus" té fce a to derivuji a ta druhá substituční metoda je, že za t dosazuju něco tak aby, když to zderivuju vyšlo "kus" té fce? Chápu to dobře?

Rumburak

↑ aralk09:

Snad to myslíš správně, ale popisuješ to příliš vágně, než aby to stačilo k jednoznačné odpovědi ANO resp. NE. Popisovat složitější matematické souvislosti
hovorovým jazykem je ošidné, což řešíme matematickou terminologií a symbolikou. Navíc mi činí potíže pamatovat si, která z vět o substituci je "první"
a která "druhá" :-( (protože nikdy jsem to nepotřeboval vědět).

Ukáži další příklady:

A) Máme spočítat $A = \int \sin^5t\,\cos\,t \,\mathrm{d}t$ . Substititucí $\sin\,t = x$ (a tedy $\cos\,t \,\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$ ) získáme "tabulkový" integrál:

$A =\int x^5 \,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}\,x^6 + C = \frac{1}{6}\,\sin^6t + C$ .

B) Máme spočítat strašidelně vyhlížející integrál $B = \int \frac {\arcsin\,x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$ na intervalu $(-1, 1)$ . Substitituce $x = \sin\,t$ (tj. $\mathrm{d}x = \cos\,t \,\mathrm{d}t$ )
pro $t \in $-\frac{\pi}{2}, \,\frac{\pi}{2} $$ nám ho převede na integrál

$B =\int \frac {t}{|\,\cos\,t\,|}\,\cos t\, \mathrm{d}t =\int \frac {t}{\cos\,t}\,\cos t\, \mathrm{d}t = \int t \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2}\, t^2 + D = \frac{1}{2} \arcsin^2x + D$ .

V obou těchto příkladech A), B) byla použita tatáž substituce $x = \sin\,t$ , avšak dvěma různými způsoby, což jsou právě ony dvě varianty věty o substituci.

PS. Substituci z příkladu B) lze s úspěchem pojmout i obráceně - v duchu příkladu A) - díky tomu, že funkce sinus ja na uvažovaném intervalu $$-\frac{\pi}{2}, \,\frac{\pi}{2} $$ prostá:

$x = \sin\,t$ zde znamená $\arcsin\,x = t$ , takže $\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$ a

$B = \int \arcsin\,x\,\cdot \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x =\int t\, \mathrm{d}t = \frac{1}{2}\, t^2 + D = \frac{1}{2} \arcsin^2x + D$ .