Matematické Fórum

d.lord · 11. 10. 2008 17:35 — Editoval d.lord (11. 10. 2008 18:04)

ahoj mam zadanej takovyto obvod:

po prepsani do vyrokove formy vyjde asi neco takoveho:
$[(A \wedge B) \vee (A \wedge B \wedge C ) \vee (A \wedge ( B \vee A) \wedge (C \vee A) \wedge (\neg B \vee \neg A) \wedge (C \vee \neg A)) ]$
A nyní tento výraz mám zjednodušit využitím zákonů výrokové logiky. Nevím, kde začít a nevím kde skončit. budu vděčný za každou radu.

Pavel · 11. 10. 2008 18:18 — Editoval Pavel (11. 10. 2008 18:26)

$\red \{(A \wedge B) \vee (A \wedge B \wedge C ) \vee [A \wedge ( B \vee A) \wedge (C \vee A) \wedge (\neg B \vee \neg A) \wedge (C \vee \neg A)]\}=$

Platí tautologie:

$(X\wedge Y)\vee X=(X\vee Y)\wedge X=X$

První dvě závorky mohu upravit takto:

$(A \wedge B) \vee (A \wedge B \wedge C )=(A \wedge B) \vee ((A \wedge B) \wedge C )=A \wedge B$

Původní formuli můžeme přepsat takto:

$\red \{(A \wedge B) \vee [A \wedge ( B \vee A) \wedge (C \vee A) \wedge (\neg B \vee \neg A) \wedge (C \vee \neg A)]\}$

Stejně tak můžeme zjednodušit konjunkci prvních dvou výrazů v hranaté závorce:

$A \wedge ( B \vee A)=A$

Dostaneme tak

$\red \{(A \wedge B) \vee [A \wedge (C \vee A) \wedge (\neg B \vee \neg A) \wedge (C \vee \neg A)]\}$

Postup opakujeme znovu

$A \wedge (C \vee A)=A,$
a tedy stačí upravit formuli
$\red \{(A \wedge B) \vee [A \wedge (\neg B \vee \neg A) \wedge (C \vee \neg A)]\}$

Upravme výraz v hranaté závorce:

$A \wedge (\neg B \vee \neg A) \wedge (C \vee \neg A)=A \wedge [\neg A\vee(\neg B \wedge C)]=(A \wedge \neg A)\vee[A\wedge(\neg B \wedge C)]= \mathbb{0}\vee(A\wedge\neg B \wedge C)=A\wedge\neg B \wedge C$

Vra?me se k původní formuli

$\red \{(A \wedge B) \vee [A \wedge (\neg B \vee \neg A) \wedge (C \vee \neg A)]\}=(A \wedge B) \vee(A\wedge\neg B \wedge C)=[(A \wedge B) \vee(A\wedge\neg B)] \wedge [(A\wedge B)\vee C]=\nl=[A \wedge (B\vee \neg B)] \wedge [(A\wedge B)\vee C]=(A \wedge \mathbb{1}) \wedge [(A\wedge B)\vee C]=A\wedge [(A\wedge B)\vee C]=[A\wedge (A\wedge B)]\vee(A\wedge C)=\nl=(A\wedge B)\vee(A\wedge C)=\mathbf{A\wedge(B\vee C)},$

kde $\mathbb 0$ označuje nepravdivý výrok a $\mathbb 1$ výrok pravdivý. Výpočet jsem navíc ověřil pomocí pravdivostní tabulky. Pravdivostní hodnoty původní a výsledné formule jsou pro danou kombinaci 0 a 1 vždy shodné.

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2008 17:35 — Editoval d.lord (11. 10. 2008 18:04)

Zjednodušení el. obvodu tvořeného logickými prvky...

#2 11. 10. 2008 18:18 — Editoval Pavel (11. 10. 2008 18:26)

Re: Zjednodušení el. obvodu tvořeného logickými prvky...

Zápatí