Matematické Fórum

Strongmann · 15. 02. 2012 12:51

Dobrý den,
zajímalo by mě jaká je pravděpodobnost (v %), že při x hodech hrací kostkou mi padne všech šest čísel.

Například že během 10hodů kostkou se mi alespoň jednou zopakují všechna čísla, která jsou na kostce.

za všechny odpovědi předem děkuji

pietro · 15. 02. 2012 14:01

↑ Strongmann:Ahoj, behom 7 hodov sa zaručene bude jedno číslo opakovať :-).

Strongmann · 15. 02. 2012 17:25

No to je pochopitelné. Vím že pravděpodobnost že padne jedno číslo ze 6, je 1/6 popřípadě že padne 2x po sobě je (1/6)^2, ale jak je to když chci vypočítat ten příklad který sem uvedl na začátku, nebo například u rulety jaká je pravděpodobnost že po 100x zatočení rulety nám padne každé z čísel na plátně (37: 0-36) alespoň jednou?

Strongmann

Myslím že pravděpodobnost, že během 6hodů mi pokaždé padne jiné číslo na kostce je: $\frac{6!}{6^6}$
ale jak pokračovat u 7,8... n ?

gogy27 · 16. 02. 2012 17:00 — Editoval gogy27 (16. 02. 2012 17:01)

no tak skusme to takto: Pocet vsetkych moznosti: $6^{n}$
Pocet kedy musi padnut prave toto cislo je: $(\frac{1}{6})^{n}$

Takze pravdepodobnost bude: $\frac{(\frac{1}{6})^{n}}{6^{n}}\cdot 100\%$

n = pocet hodov

Strongmann

Pokud je n počet hodu tak pak by se s vyšším n měla být i vyšší pravděpodobnost je to tak? Například při 10 hodech kostkou je menší pravděpodobnost že mi padnou všechna čísla na kostce (alespoň jednou) než při 100 hodech, při kterých ta pravděpodobnost bude určitě vyšší...

Nevím jestli sem ten vzorec správně pochopil:
n=10

$\frac{\left(\frac{1}{6}\right)^{10}}{6^{10}}\cdot 100\% = 2.73511123 × 10^{-14}$

n=100

$\frac{\left(\frac{1}{6}\right)^{100}}{6^{100}}\cdot 100\% = 2.34287934 × 10^{-156}$

De mi o to že padnou všechna čísla na kostce (1-6) alespoň jednou. Klidně se pak můžou zopakovat 2x 3x...k to už mi je jedno...

Miky4 · 16. 02. 2012 19:15 — Editoval Miky4 (16. 02. 2012 21:46)

Ahoj, moc zajímavá úloha. Myslím, že by se dalo vyjít z toho, že při šesti hodech máš pravděpodobnost $\frac66\cdot \frac56\cdot \frac46\cdot \frac36\cdot \frac26\cdot \frac16\cdot100\%$ .

A pokud se nepletu, jakože se pletu, je to blbě nedá se to tak jednoduše vynásobit:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Stýv · 16. 02. 2012 19:36

obávám se, že je třeba použít princip inkluze a exkluze, tj. vzít všechny kombinace, odečíst ty, kde nějaké číslo chybí, přičíst ty, kde chybí dvě čísla, odečíst ty, kde chybí tři čísla atd.

Strongmann

↑ Miky4: Ano! To vypadá správně :) mockrát děkuji Jo akorát u toho posledního vzorce má byt n-1 a ne n+1 že?

Stýv · 16. 02. 2012 20:03

↑ Strongmann:↑ Miky4: toto je očividně špatně, protože pro dostatečně velké x by ta pst vyšla větší než 1

Strongmann · 16. 02. 2012 20:26

To je pravda :(. Ale předpokládám že výpočet u těch 6 hodů: $\frac{6!}{6^{6}}$ je správně že? Takže už jen jak nahradit například ten sedmí hod, který je $\frac{6}{6}$ tedy násobení jednou je zbytečné :(

Miky4 · 16. 02. 2012 21:01 — Editoval Miky4 (16. 02. 2012 21:48)

↑ Strongmann:
nene, má tam být +1, protože to je x-(n-1)
↑ Stýv:
to jsem si taky uvědomil, ale je to to nejlepší, co mě napadlo...

Stýv · 16. 02. 2012 21:49

↑ Miky4: řekl bych, že se pleteš

Miky4 · 16. 02. 2012 22:33 — Editoval Miky4 (17. 02. 2012 07:06)

Jo, bylo to blbě, uznávám. Žeby to bylo takhle?
$\left(1-\left(\left(1-\frac{6!}{6^6}\right)\cdot\left(\frac56\right)^{x-6}\right)\right)\cdot100\%$
Myslím, že tato úvaha, je mnohem lepší. Počítám jaká je pravděpodobnost, že pokud to nebude při těch prvních šesti hodech, tak že to nebude ani v těch ostatních, a pak to odečítám od jedničky.

Strongmann · 16. 02. 2012 22:40

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=140397 tady sem nasel něco podobného. Na konci je vzorec, bohužel který vůbec nechápu...

Jan Jícha · 16. 02. 2012 22:43

↑ Miky4: To už vypadá mnohem zajímavěji. A odvážím si tvrdit, že je i možná správná.

Miky4 · 16. 02. 2012 22:44

↑ Strongmann:
taky ne :]

Miky4 · 17. 02. 2012 14:34 — Editoval Miky4 (17. 02. 2012 19:04)

↑ Miky4:
Taky to není dobře, hodnoty vypočtené z toho vzorce nesouhlasí s realitou.
Pro daný počet hodů je pravděpodobnost počítaná na miliónech pokusů přibližně:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jan Jícha · 17. 02. 2012 17:03

↑ Miky4: V čem nesouhlasí? Že při 50 hodech máme skoro 100% šanci na úspěch?

Miky4 · 17. 02. 2012 18:54

↑ Honza Matika:
Ne, to co jsem napsal není podle toho vzorce, podle toho to vychází jinak.

Strongmann · 20. 02. 2012 14:58

No a když to zaokrouhlím dejme to mu na 2 desetinné místa tak to vychází velice podobně?

Miky4 · 20. 02. 2012 15:28

Cože? Tak si to spočítej. Nevychází to.

Strongmann · 20. 02. 2012 17:58

Tak teda jak se to počítá pomocí té inkluze a exkluze :(

Miky4 · 20. 02. 2012 18:40

Ty bys asi chtěl vzorec, že? Ty hodnoty co jsem napsal ti asi nestačí, že? No pokud bych to chtěl počítat jako poměr mezi příznivými jevy a všemi možnými mám vzorec $\frac{\frac{x!}{(x-6)!}\cdot 6^{x-6}}{6^{x}}$ . Jenže v tom čitateli započítávám některé možnosti dvakrát a nevím jak to udělat, abych je dvakrát nezapočítával. A pomocí té exkluze a inkluze bys to musel počítat myslím ručně.

Quelqu'un

B|cff0055ffcolor|r

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2012 12:51

Pravděpodobnost

#2 15. 02. 2012 14:01

Re: Pravděpodobnost

#3 15. 02. 2012 17:25

Re: Pravděpodobnost

#4 16. 02. 2012 11:31 — Editoval Strongmann (16. 02. 2012 11:31)

Re: Pravděpodobnost

#5 16. 02. 2012 17:00 — Editoval gogy27 (16. 02. 2012 17:01)

Re: Pravděpodobnost

#6 16. 02. 2012 18:40 — Editoval Strongmann (16. 02. 2012 18:48)

Re: Pravděpodobnost

#7 16. 02. 2012 19:15 — Editoval Miky4 (16. 02. 2012 21:46)

Re: Pravděpodobnost

#8 16. 02. 2012 19:36

Re: Pravděpodobnost

#9 16. 02. 2012 19:53 — Editoval Strongmann (16. 02. 2012 19:59)

Re: Pravděpodobnost

#10 16. 02. 2012 20:03

Re: Pravděpodobnost

#11 16. 02. 2012 20:26

Re: Pravděpodobnost

#12 16. 02. 2012 21:01 — Editoval Miky4 (16. 02. 2012 21:48)

Re: Pravděpodobnost

#13 16. 02. 2012 21:49

Re: Pravděpodobnost

#14 16. 02. 2012 22:33 — Editoval Miky4 (17. 02. 2012 07:06)

Re: Pravděpodobnost

#15 16. 02. 2012 22:40

Re: Pravděpodobnost

#16 16. 02. 2012 22:43

Re: Pravděpodobnost

#17 16. 02. 2012 22:44

Re: Pravděpodobnost

#18 17. 02. 2012 14:34 — Editoval Miky4 (17. 02. 2012 19:04)

Re: Pravděpodobnost

#19 17. 02. 2012 17:03

Re: Pravděpodobnost

#20 17. 02. 2012 18:54

Re: Pravděpodobnost

#21 20. 02. 2012 14:58

Re: Pravděpodobnost

#22 20. 02. 2012 15:28

Re: Pravděpodobnost

#23 20. 02. 2012 17:58

Re: Pravděpodobnost

#24 20. 02. 2012 18:40

Re: Pravděpodobnost

#25 20. 02. 2012 23:22 — Editoval Quelqu'un (20. 02. 2012 23:40)

Re: Pravděpodobnost

Zápatí