Matematické Fórum

ttopi · 13. 10. 2008 12:46 — Editoval ttopi (13. 10. 2008 13:15)

Dostali jsme za úkol vyřešit následující příklad. Není to úplně povinné, ale rád bych v tom měl jasno. Co je to bijekce vím, jen nevím, jak se taková bijekce vlastně hledá. Předpokládám, že je to nějaká funkce.

Bude mi stačit, když mě někdo nakopne začátkem řešení, nebo poradí, jak na to jít. Pokud by se někdo neudržel a napsal rovnou celé řešení, slibuji, že se nebudu chlubit cizím peřím.

Zadání: Najděte bijekci (libovolnou) mezi množinami (intervaly)
a) $(0;1)$ a $(a;b)$ kde $(a,b\in R; a<b)$
b) $(0;1)$ a $R$

EDIT: U toho b) mě napadly nějaké goniometrické fce, které mají D(f)=(0;1) a H(f)=R - je to tak možné brát?

musixx · 13. 10. 2008 13:50

Pokud jde o nakopnuti, tak

-- k prvnimu prikladu:

Vlastne chces udelat neco jako scaling. Predstav si, co udela treba funkce y=2x z intervalu (0,1).

-- ke druhemu prikladu:

Chces neco podobneho jako prvne, ale potrebujes neco omezeneho natahnout opravdu "hodne". Takze co treba vzit nejakou spojitou funkci, ktera tohle umi "za tebe", a jen ji nejak posunout... Treba takova 1/x nekde kolem nuly...

Lishaak · 13. 10. 2008 14:29

Ja bych si dovolil udat malinko preciznejsi nakopnuti.

Vzdycky v podstate hledame funkci z mnoziny A do B, takovou, ze je prosta a na. Tim dostaneme bijekci z A do B. Cili v prikladu jedna staci najit prostou funkci, ktera zobrazi interval (0, 1) (ktery si pro jednoduchost muzu predstavit vyznaceny na ose "x") na interval (a, b) (ktery si vyznacim na osu "y"). Tady je reseni opravdu jednoduche.

Co se tyce bijkce z (0, 1) do R, s tema goniometrickyma funkcema (obzvlast s jednou takovou hezkou :-), by se urcite neco vykouzlit dalo (upravit periodu a trosku to cele posunout). S tou funkci 1/x by to samozrejme taky slo, ale musi se to ruzne nasekat a pospojovat, v nekterych bodech dodefinovat atd. Podobne rozsekat se samozrejme daji i jine funkce, zalezi na fantazii. Tim mam na mysli, ze nemusi ta funkce byt definovana na celem intervalu tymz vyrazem. Muzu na jedne casti toho intervalu pouzit jeden predpis, na jine zase jiny atd. Dulezite je, aby vysledne zobrazeni zase bylo proste a na.

ttopi · 13. 10. 2008 16:20

Oběma vám moc děkuji. Něco podobného jsem měl také na mysli a tímto to mám potvrzené. Téma nechám 2 dny ležet a budu přemýšlet. Ve středu sem napíši svá řešení a budete se moct do mě pustit.

Prozatím děkuji :-)

ttopi · 14. 10. 2008 07:08 — Editoval ttopi (14. 10. 2008 07:25)

Ta funkce $\frac{1}{x}$ je zajímavá. Pro x jdoucí k 0 jde do +nekonečna a pro x jdoucí k 1 jde postupně níž a níž, ale nikdy pod 1 zřejmě. Já ale potřebuju, aby to interval (0;1) zobrazilo na R, to znamená i do záporných čísel, i na 0.

Napadlo me, nešlo by napsat $\sqrt{\frac{1}{x}}$ tak, že bych dodal, že výsledkem je jak kladná odmocnina, tak záporná?

Pak by zbývalo jen dořešit 0. To bych mohl udělat tím, že bych k tomu přičetl nějakou konstantu, třeba 3 a dostal bych $f: y=\sqrt{\frac{1}{x}}+3$ - bylo by tím zaručeno, že se po dosazení za x z (0;1) dostanu do jakéhokoliv reálného čísla, tedy i do problémové čísti mezi -1 a +1?

Tuším, že bude problém s odmocninou, že asi nelze napsat, že počítáme s +- výsledkem. Může mi tedy někdo poradit, jak to zařídit?

EDIT: S tou konstantou je to špatně. Třeba do +3,5 bych se nedostal, protože by ta odmocnina musela být 0,5 a to nikdy nebude.... Ale třeba je na tom alespoň něco trošku dobře.

EDIT2: Mohl bych pro zobrazení nadefinovat ještě 1 předpis, vlastně takovou druhou funkci, která by ve výsledku dávala i hodnoty, které by mi první funkce nevyplivla? Například nějakou parabolu zasunutou do grafu té odmocniny tak, aby zaplnila zbývající hodnoty pro y?

musixx · 14. 10. 2008 08:43

↑ ttopi: Jak "vic nakopaval" Lishaak, u toho 1/x se to musi jeste trochu ucesat. Treba takova jedna spojita cast tangenty ci cotangenty s upravenou periodou na jednicku a posunuta tak, aby byla licha, dava reseni take, nicmene v sobe schovava pomerne slozitou funkci.

Zpet k te 1/x. Nebudu jeste psat vsechno, jak by se to dalo napriklad udelat, ale zkusim jeste popostrcit: Rozdelme si (0,1) na (0,1/4), <1/4,1/2), {1/2}, (1/2,3/4>, (3/4,1) a zobrazme bijektivne

(0,1/4) na (-\infty,-1) pomoci posunute -1/x, tedy vysledek nejak jako -1/(ax)+b
(3/4,1) na (1,\infty) analogicky
1/2 na 0
<1/4,1/2) na <-1,0) scalingem (to uz umime)
(1/2,3/4> na (0,1> analogicky

Nebo si zivot jeste usnadneme, zbavme se tech zlomku tak, ze nejprve zobrazime (0,1) na (-2,2) a pak delime (-2,2) na (-2,-1> \cup (-1,0) \cup {0} \cup (0,1) \cup <1,2). Pak budujeme neco symetrickeho: nula na nulu a treba na (-1,0) \cup (0,1) pouzijeme primo 1/x. Tim mame pokryto vsechno krom <-1,0) \cup (0,1>, ale mame jeste neco z toho, jak jsme delili (-2,2)...

Lishaak · 14. 10. 2008 12:40

Jen tak pri inspiraci uvadim svuj pokus o reseni. Taky neni kdovijak elegantni, ale zadani splnuje. Funkce ma tento predpis:

$\left(\frac{1}{1-4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}-1\right)\operatorname{sgn}{\left(x-\frac{1}{2}\right)} \qquad x\in\langle 0, 1 \rangle$

musixx · 14. 10. 2008 15:51 — Editoval musixx (14. 10. 2008 15:52)

↑ Lishaak: Asi jsi myslel ${\rm sgn}\left(x-\frac12\right)$ .

Variace na podobne tema, vyuziti grafu 1/x a jednoduche manipulace s nim:
$\begin{cases}\frac1x&{\rm pro\ }x\in(0;\frac12\rangle\nl\frac1{x-1}+4&{\rm pro\ }x\in(\frac12;1)\end{cases}$

Lishaak · 14. 10. 2008 16:25

↑ musixx:

Jasne, chybicka se vloudila, opraveno, dik za upozorneni

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2008 12:46 — Editoval ttopi (13. 10. 2008 13:15)

Bijekce mezi množinami

#2 13. 10. 2008 13:50

Re: Bijekce mezi množinami

#3 13. 10. 2008 14:29

Re: Bijekce mezi množinami

#4 13. 10. 2008 16:20

Re: Bijekce mezi množinami

#5 14. 10. 2008 07:08 — Editoval ttopi (14. 10. 2008 07:25)

Re: Bijekce mezi množinami

#6 14. 10. 2008 08:43

Re: Bijekce mezi množinami

#7 14. 10. 2008 12:40

Re: Bijekce mezi množinami

#8 14. 10. 2008 15:51 — Editoval musixx (14. 10. 2008 15:52)

Re: Bijekce mezi množinami

#9 14. 10. 2008 16:25

Re: Bijekce mezi množinami

Zápatí