Matematické Fórum

Frantik88 · 14. 10. 2008 13:17

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{-x} - 1}{x}$
V čitateli je e na -x.

$\lim_{a \to \infty} \left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{2x-1}$
Zde je výraz v závorce na 2x-1.

Děkuji

musixx · 14. 10. 2008 13:37 — Editoval musixx (14. 10. 2008 13:43)

V prvnim pripade jde o primou aplikaci l'Hospitalova pravidla, tedy
$\lim_{x\to0}\frac{{\rm e}^{-x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{-{\rm e}^{-x}}1=-1$ .

Ve druhem pripade bych presel s limitou do exponentu a opet l'Hospital:
$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{2x-1}=\lim_{x\to\infty}{\rm e}^{\left((2x-1)\cdot{\rm ln}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)\right)}={\rm e}^{\left(\lim_{x\to\infty}(2x-1)\cdot{\rm ln}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)\right)}$ ,
ted ten exponent spocteme zvlast:
$\lim_{x\to\infty}(2x-1)\cdot{\rm ln}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{{\rm ln}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)}{\frac1{2x-1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x+2}{x-3}\cdot\frac{(x+2)-(x-3)}{(x+2)^2}}{-2(2x-1)^{-2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{5(2x-1)^2}{-2(x-3)(x+2)}=\lim_{x\to\infty}\frac{20x^2+\cdots}{-2x^2+\cdots}=-10$ ,
tedy celkem ${\rm e}^{-10}$ .

Pavel · 14. 10. 2008 13:42

↑ musixx:

... anebo

$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{2x-1}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x+2}\right)^{2x-1}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x+2}\right)^{2(x+2)}\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x+2}\right)^{-5}=(e^{-5})^2\cdot 1=e^{-10}$

musixx · 14. 10. 2008 13:54

↑ Pavel: Hezke reseni...

Frantik88 · 14. 10. 2008 14:56

Pmocí l'Hospitalova pravidla jsem to vypočítal, ale uvážíme-li, že jej neznám, jak to mohu řešit?

musixx · 14. 10. 2008 15:11

↑ Frantik88: A proc bys jej nemel znat? Rekl bych, ze je to takovy zakladni standardni nastroj pro vypocet limit. Samozrejme to musi jit i bez nej, jednu moznost ukazal Pavel, ale rekl bych, ze pouzil daleko vic pokrocilejsi myslenku nez l'Hospitala... Cimz nerikam, ze to nejde jeste jinak, elementarneji.

Frantik88 · 14. 10. 2008 15:22

Ano, já l'Hospitalovo pravidlo znám a využívám jej, ale kamarád dnes měl do školy počítat příklady a to bez l'Hospitala, proto.. :)

Lishaak · 14. 10. 2008 16:37

musixx napsal(a):
↑ Pavel: Hezke reseni...

Ale bez preciznejsiho zduvodneni mi prijde dost podezrele. Mozna se mylim, ale odkud vime, ze "limita mocniny je mocnina limit"?. Treba to vzdycky plati, ja sam nevim, ale takhle se mi to nejak nepozdava.

musixx · 14. 10. 2008 16:42

↑ Lishaak: Ale Pavel to preci rozdelil jen na soucin limit, zadnou mocninu.

Lishaak · 14. 10. 2008 16:53

Aha, uz to vidim, no, dneska bych mel na tohle forum asi prestat psat, protoze co prispevek, to zavrzenihodna nepozornost. Trest smrti, jak rika Nohavica

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2008 13:17

Limity

#2 14. 10. 2008 13:37 — Editoval musixx (14. 10. 2008 13:43)

Re: Limity

#3 14. 10. 2008 13:42

Re: Limity

#4 14. 10. 2008 13:54

Re: Limity

#5 14. 10. 2008 14:56

Re: Limity

#6 14. 10. 2008 15:11

Re: Limity

#7 14. 10. 2008 15:22

Re: Limity

#8 14. 10. 2008 16:37

Re: Limity

musixx napsal(a):

#9 14. 10. 2008 16:42

Re: Limity

#10 14. 10. 2008 16:53

Re: Limity

Zápatí