Matematické Fórum

Saturday

Zadání: Dokažte, že spočetnost je nejmenší nekonečná mohutnost.

Moje snaha:

Množina se nazývá spočetná, právě když je ekvivalentní s množinou $N_0$ všech přirozených čísel. Spočetností se rozumí bijektivní zobrazení do množiny přirozených čísel. Nyní si vezmu prosté zobrazení posloupnosti. Pak toto zobrazení bude mít větší nebo stejnou mohutnost. Tím by měl být důkaz hotov.

Mohl by mi k tomu někdo napsat připomínky pls?

Lishaak · 28. 10. 2007 21:35

Abych pravdu rekl, tento prispevek me v zadnem smeru nepripomina dukaz:-)

>> Nyní si vezmu prosté zobrazení posloupnosti.

Co to znamena? Realna posloupnost je zobrazeni z mnoziny prirozenych cisel do moziny realnych cisel. Co je podle tebe zobrazeni posloupnosti?

>> Pak toto zobrazení bude mít větší nebo stejnou mohutnost.

Co je podle tebe "mohutnost zobrazeni"?

Saturday · 28. 10. 2007 21:54

Zkusím to ještě jednou, všechny ty pojmy jsou pro mě zatím trochu problém, protože z přednášek se dělají poznámky špatně, hlavně když je má Pultr..

Posloupnost lze chápat jako zobrazení, které každému přirozenému číslu přiřazuje prvek z dané množiny A.

Mám-li spočetnost, tak mám také posloupnost, která mi přiřazuje jednotlivým přirozeným číslům přirozená čísla.

Protože však je spočetnost bijektivní zobrazení, tak se na každý prvek dostane. Pokud si vezmu stejnou posloupnost a její prvky budu přiřazovat do jiné množiny A, tak se na každý prvek dostane (pokud je A=N) nebo nedostane (pokud A se nerovná N, takže je ta množina "mohutnější"). Z toho plyne, že a? budu mít jakoukoli jinou množinu než množinu přirozených čísel, tak musí být mohutnější.

Doufám, že je to o trochu lepší, neporadil bys mi, jak bys to dělal ty?

Díky moc

Lishaak · 28. 10. 2007 22:03

Je to silene zmatene a nepresne. Vubec z toho nechapu, o co se vlastne snazis. Abych pravdu rekl, tak nemam nejmensi poneti, jak by se neco takoveho dokazalo. Na to je podle me treba uz nejakych hlubsich poznatku. Muzu se zeptat jakou skolu a ktery rocnik studjes a z jakeho predmete to je uloha? Ja znam Pultra jako prednasejiciho na matfyzu

Saturday · 28. 10. 2007 22:05

jsem v prvaku na informace na matfyzu.. lip to napsat neumim, brali jsme to na prvni hodine a tohle je domaci ukol.. :)

Kondr · 29. 10. 2007 20:02

Naším úkolem je dokázat, že když máme nějakou nekonečnou množinu M, tak že má alespoň takovou mohutnost, jakou má N.
To znamená, že chceme ukázat existenci injektivního zobrazení z N do M.
Takové zobrazení zkonstruuji jednoduše. Jedničce přiřadím prvek $m_1\in M$
dvojce $m_2\in M\setminus \{m_1\}$ , trojce $m_3\in M\setminus \{m_1,m_2\}$ .
Takto mohu přiřadit prvek M každému přirozenému číslu. Proč - to je intuitivně jasné, ale chtělo by to dokázat.
Předpokládejme, že číslu n žádný prvek M přiřadit nemůžeme. To ale znamená, že množina
$M\setminus \{m_1,m_2,\ldots,m_{n-1}\}$ musela být prázdná. Pak ale M musela obsahovat nejvýše n-1 prvků,
což je spor s tím, že n je nějaké přirozené číslo a M je nekonečná.

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2007 21:21 — Editoval Saturday (28. 10. 2007 21:26)

Spočetnost

#2 28. 10. 2007 21:35

Re: Spočetnost

#3 28. 10. 2007 21:54

Re: Spočetnost

#4 28. 10. 2007 22:03

Re: Spočetnost

#5 28. 10. 2007 22:05

Re: Spočetnost

#6 29. 10. 2007 20:02

Re: Spočetnost

Zápatí