Matematické Fórum

abil · 23. 02. 2012 16:25

Potřebuji dořešit všechna řešení. Nejlépe pomocí kongruence. (Jak dojdu k k =5 + 7k)
Žena nesla na trh koš vajec. Určete kolik vajec bylo v koši, jestliže platí: při vykládání po 2, 3, 4, 5 nebo 6 zbylo jedno vejce, při vykládání po 7 žádné nezbylo. Děkuji

kompik · 25. 02. 2012 15:16

abil napsal(a):
Potřebuji dořešit všechna řešení. Nejlépe pomocí kongruence. (Jak dojdu k k =5 + 7k)
Žena nesla na trh koš vajec. Určete kolik vajec bylo v koši, jestliže platí: při vykládání po 2, 3, 4, 5 nebo 6 zbylo jedno vejce, při vykládání po 7 žádné nezbylo. Děkuji

Ak som spravne pochopil zadanie, chces riesit takuto sustavu kongruencii:
$x\equiv 1 \pmod 2\\ x\equiv 1 \pmod 3\\ x\equiv 1 \pmod 4\\ x\equiv 1 \pmod 5\\ x\equiv 1 \pmod 6\\ x\equiv 0 \pmod 7$

Vsimnime si, ze $x\equiv \pmod 6$ $\Leftrightarrow$ $x\equiv 1 \pmod 2$ $\land$ $x\equiv 1 \pmod 3$ , cize kongruenciu so 6-kou mozeme vynechat bez toho, aby sme ovplyvnili mnozinu rieseni.
Takisto plati $x\equiv \pmod 4$ $\Rightarrow$ $x\equiv 1 \pmod 2$ , takze mozeme vynechat aj kongruenciu s dvojkou.

Dostali sme novu sustavu (ekvivalentnu s povodnou):
$x\equiv 1 \pmod 3\\ x\equiv 1 \pmod 4\\ x\equiv 1 \pmod 5\\ x\equiv 0 \pmod 7$

Podla cinskej zvyskovej vety - vid. ceska alebo anglicka wiki - vieme, ze existuje prave jedno riesenie modulo $420=3\times 4 \times 5\times 7$ .

Existuje viacero moznosti ako taketo sustavy riesit. Napriklad takto:
$x\equiv 0 \pmod 7$ $\Rightarrow$ $x=7a$
Pokusime sa z ostatnych kongruencii zistit nieco o cisle $a$ .

$7a\equiv 1 \pmod 5$
$2a\equiv 1 \pmod 5$
$a\equiv 3 \pmod 5$
$a=5b+3$ $\Rightarrow$ $x=7a=7(5b+3)=35b+21$

$35b+21 \equiv 1 \pmod 4$
$3b+1 \equiv 1 \pmod 4$
$b \equiv 0 \pmod 4$
$b=4c$ $\Rightarrrow$ $x=140c+21$

$140c+21 \equiv 1 \pmod 3$
$2c \equiv 1 \pmod 3$
$c \equiv 2 \pmod 3$
$c=3d+2$ $\Rightarrow$ $x=140(3d+2)+21=420d+301$

Lahko sa da skontrolovat, ze cislo 301 skutocne vyhovuje zadanym kongruenciam.

abil · 25. 02. 2012 19:23

Děkuji

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2012 16:25

kongruence

#2 25. 02. 2012 15:16

Re: kongruence

abil napsal(a):

#3 25. 02. 2012 19:23

Re: kongruence

Zápatí