Matematické Fórum

tajemnaholka · 24. 02. 2012 13:55

Určete q tak, aby jeden kořen kvadratické rovnice $4x^{2 }-15x+q=0$ ´byl druhou mocninou druhého kořene.
Prosím o postup k této rovnici, nevím jak na to, mela bych asi pouzit vietovy vztahy, ale nevim jak... Predem dekuji

cyrano52 · 24. 02. 2012 15:30

Ahoj, známe tedy vztahy:

$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
$x_{1}*x_{2}=\frac{c}{a}$

Ze zadání víme, že 1 kořen je druhou mocninou 2. kořene, tzn:

$x_{1}=(x_{2})^{2}$

No a pokud znáš předpis kvadratické rovnice:

$ax^{2}+bx+c=0$

tak nemůžeš mít problém :)

Rumburak

Zkusme to bez Vietových vzorců.

Oba kořeny rovnice

(1) $4x^{2 }-15x+q=0$

si označme $r^2, r$ (prvý je čtvercem druhého, jak požaduje úloha) a každý z nich dosaďme do (1). Tím dostaneme rovnice

$4r^{4}-15r^2+q=0$ , $4r^{2 }-15r+q=0$ .

Když druhou odečteme od první, obdržíme rovnici $4r^{4}-15r^2+q - (4r^{2 }-15r+q)=0$ , po úpravě

(2) $4r^{4}-19r^2+ 15r = 0$ , neboli $r(4r^{3}-19r+ 15) = 0$ .

Její kořen $r = 0$ zřejmě nevyhovuje naší úloze, neboť rovnice (1) nemůže mít dvojnásobný kořen 0 (protože pak by musela mít tvar $ax^2 = 0$ ),
ostatní kořeny rovnice (2) získáme vyřešením rovnice

(3) $4r^{3}-19r+ 15 = 0$ .

Kubický polynom z její levé strany upravíme na

$4r^{3}-4r - 15r+ 15 = 4r(r^2-1) -15(r-1) = (r-1)(4r(r+1) - 15)$ ,

takže rovnice (3) pak bude mít tvar $(r-1)(4r(r+1) - 15) = 0$ a nalézt všechny její kořeny $r_1, r_2, r_3$ už jistě nebude těžké.
U každé dvojice $r_j, r_j^2 (j = 1, 2, 3)$ posuďme, zda opravdu může představovat dvojici obou kořenů rovnice $4x^{2 }-15x+q_j=0$
pro vhodné $q_j$ a v kladném případě toto číslo specifikujme.

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2012 13:55

Kvadratická rovnice

#2 24. 02. 2012 15:30

Re: Kvadratická rovnice

#3 24. 02. 2012 15:52 — Editoval Rumburak (24. 02. 2012 16:40)

Re: Kvadratická rovnice

Zápatí