Matematické Fórum

Evil_666 · 25. 02. 2012 11:12

Ahoj,
nevím si rady s touto nejspíš mocninnou řadou:

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{cos(n*x)}{\sqrt[3]{n^4 +x^2}}$

Mělo by to vyjít, že konverguje pro všecha R, ale vůbec nevím jak to vyřešit.

Díky za pomoc

jardofpr

ahoj ↑ Evil_666:

$0 \leq \Bigg|\frac{\cos{(nx)}}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{2}}}\Bigg|\leq \Bigg| \frac{\cos{(nx)}}{\sqrt[3]{n^{4}}}\Bigg| \quad ,\,\,\forall n \in \mathbb{N} \,\, \forall x \in \mathbb{R}$

podarilo sa?

Evil_666 · 25. 02. 2012 13:58

Ahoj, díky, ale tomu moc nerozumím. Jak jsi k tomutu dospěl? Atoto je jako srovnávací kriterium? NEní nějaký jiny způsob?

jardofpr

↑ Evil_666:

áno je to porovnávacie kritérium
aby sa dalo použiť, je potrebná tá absolútna hodnota

prečo iný spôsob?
dopíšeš tam ešte jednu nerovnosť doprava a máš konvergenciu $\forall x \in \mathbb{R}$

toto by malo byť jasné:
$0 \leq \Big|\frac{\cos{(nx)}}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{2}}}\Big|$

toto :
$\Big|\frac{\cos{(nx)}}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{2}}}\Big|\leq \Big| \frac{\cos{(nx)}}{\sqrt[3]{n^{4}}}\Big|$
by malo byť tiež
( ak je $0<B<C$ , potom platí $0<\frac{A}{C}<\frac{A}{B}$ )

teraz už len
$\Big| \frac{\cos{(nx)}}{\sqrt[3]{n^{4}}}\Big| \leq \frac{1}{\sqrt[3]{n^{4}}}$
číslo v menovateli je vždy kladné a absolútna hodnota kosínu nikdy nepresiahne 1

z toho $0 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \Big|\frac{\cos{(nx)}}{\sqrt[3]{n^4+x^2}} \Big|\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^4}}$

zrejme to vyjde aj iným spôsobom, ale toto sa mi zdá najjednoduchšie

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2012 11:12

Určete obor konvergence

#2 25. 02. 2012 11:27 — Editoval jardofpr (26. 02. 2012 03:28)

Re: Určete obor konvergence

#3 25. 02. 2012 13:58

Re: Určete obor konvergence

#4 25. 02. 2012 16:25 — Editoval jardofpr (27. 02. 2012 01:06)

Re: Určete obor konvergence

Zápatí