Matematické Fórum

FlyingMonkey · 29. 02. 2012 17:22

Ahoj, ahoj :)

nejsem si úplně jistej, že tu binomickou rovnici dávám ^^

Potřebuju s tím trochu pomoct, na tomhle příkladě:

x^3 - 27 = 0

našel jsem si, jak vypadají kořeny té binomické rovnice :)
( s tím cosinem, sinusem atd)...

A řešil sjem:

xk = $\sqrt[3]{27}(cos\frac{1+2k\pi }{3} + isin\frac{1+2k\pi}{3})$
kde k = 0,1 .... n-1

Ale v řešení jsou normálně čísla to nechápu (u dalších příkladu, už jsou takovéhle rovnice) ..

Nejsem si jenom jistý, co dosazovat za ten fí u sinusu, protože mám jakoby jen jednu hodnotu..

27|27 = 1 a tak jsem to dosadil jak za sinus, tak za cosinus :)

Prosím vás, najde si někdo čas a trochu mi to povysvětlí? Díky ..

Aquabellla · 29. 02. 2012 22:11

↑ FlyingMonkey:

$x^3 - 27 = 0$ => $x^3 = 27$ - obecně $x^n = a$ .

Je-li $a>0$ , pak řešení je ve tvaru: $x_{1, 2, 3} = \sqrt[n]{a} \cdot (cos(\frac{2k\pi}{n}) + i sin(\frac{2k\pi}{n}))$ , kde $k = \{0, 1, ..., n - 1\}$ .

Je-li $a<0$ , pak řešení je ve tvaru: $x_{1, 2, 3} = \sqrt[n]{|a|} \cdot (cos(\frac{(2k + 1)\pi}{n}) + i sin(\frac{(2k + 1)\pi}{n}))$ , kde $k = \{0, 1, ..., n - 1\}$ .

Takže v tvém případě je to: $x_{1, 2, 3} = \sqrt[3]{27} \cdot (cos(\frac{2k\pi}{3}) + i sin(\frac{2k\pi}{3}))$ , kde $k = \{0, 1, 2\}$ .

Alivendes

Zdravím, pokud to jde, raději takové rovnice řeším takhle:

$x^3 - 27 = 0$
$(x-3)(x^2+3x+9)=0$

$x_1=3$

$x^2+3x+9=0$
$x_{23}=\frac{-3\pm\sqrt{9-36}}{2}=\frac{-3\pm i.\sqrt{27}}{2}$