Matematické Fórum

FlyingMonkey · 01. 03. 2012 13:07

Ahoj, ahoj..

potřebuji tady poradit prosím ..

Nechápu, jak interpretovat výsledky, který nám, náš pan milý profesor dal :X ...

Jednou tam je {0,3} (tento příklad)
a jednou 7+4i (po dosazení x,y) ..

Tady posílám tento příklad a potřeboval bych vědět, jestli to mám vůbec dobře.
A jestli by se dalo považovat za správné, když napíšu jako výsledek:

{0x+0i;3x+0i}

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

- pro otočení klikněte a otočte si to přímo na stránce, občas se to takhle blbě nahraje :)

Díky moc :)

zdenek1 · 01. 03. 2012 13:47

↑ FlyingMonkey:
Máš v tom pěknej guláš
řešení $z=7+4i$ patří k této rovnici

Rovnice v tomto příspěvku má řešení
$z_1=0$ a $z_2=3$
a můžeš to zapsat
$z\in\{0;3\}$

Rumburak · 01. 03. 2012 14:09

↑ FlyingMonkey:
Ahoj,
výpočet je dobře, ale není dobře závěr. Mělo vyjít z_1 = 0 = 0 + 0i = (0, 0) , z_2 = 3 = 3 + 0i = (3, 0).

Ukáži ještě jiný postup. Z typografických důvodů budu místo $\overline{z}$ psát $z^{*}$ :
$z\cdot z^{*} = 3z ,\\z\cdot z^{*} - 3z = 0 ,\\z(z^{*}-3) = 0, \\z = 0 \,\vee \, z^{*}-3 =0, \\z = 0\,\vee \, z^{*} = 3, \\z = 0\,\vee \,(z^{*})^{*} = 3^{*}, \\z = 0\,\vee \,z = 3,$

protože $(z^{*})^{*} \equiv z$ a pro reálné $r$ je $r^{*} = r$ .

FlyingMonkey · 01. 03. 2012 14:15

To já nemyslel, že těch 7+4i je řešení k tomuto :) Jen jsem to uváděl jako příklad, že jednou je řešení...
{0;3} a jednou - pro jiný příklad {7+4i}

Špatně jsem popsal tu situaci sry :)

Ale už to pobírám :) V podstatě 7+4i je stejný zápis výsledku jako to {0;3} .. protože to je jakoby 0+0i;3+0i ...

takže jasný :)

Abych neotvíral další téma na stejný dotaz, jak by se zapsal teda tento příklad prosím?

z^2 = z+z(soudružné)

(x+yi)^2 = x+yi+x-yi
x^2 - y^2 = 2x
2xyi = 0

xy = 0 jenom v případě, že jedno z nich je nula.

takže x = 0
0 - y^2 = 0
y = 0

y = 0

x^2 - 2x = 0
x (x-2) = 0

x1=0
x2= 2

K tomuto jsem došel a myslím, že je to dobře? Jenom teď zase nevím, jak zapsat to řešení, aby to bylo správně?

0 + 0i = 0
2 + 0i = 2

{0;2} ... přijde ti to takhle správně prosím? A když by po dosazení x = 2 vycházelo pro y něco jiného než nula (např. 4), jenom by se to změnilo v tomto, že?

2+ 4i
a druhé řešení beze změny :)

Díky

Rumburak · 01. 03. 2012 14:29

↑ FlyingMonkey:
1) Je potřeba rozlišovat mezi různými druhy závorek. Složené závorky { } se používají především ke specifikaci množiny . Nepříklad { a, b, c } značí
množnu, jejímiž prvky jsou právě a, b, c . Takže {3, 0} = {0, 3} je množina všech řešení oné rovnice , avšak (3, 0) je jednou z možností, jak zapsat
komplexní číslo 3 + 0i .

2) V úpravě
(x+yi)^2 = x+yi+x-yi
x^2 - y^2 = 2x
je chyba, druhý řádek měl být x^2 +2xyi - y^2 = 2x .

FlyingMonkey · 01. 03. 2012 14:33

↑ Rumburak:

Aha, takže když mi vyjde třeba x = 2 a y = 3

můžu to napsat buď jako (2,3) tedy uspořádanou dvojici?
nebo {2+3i}, right?

2)

Já jsem to upravoval v hlavě a rovnou dával k sobě reálné a imaginární :) Takže tam to roznásobení ani není ... :)

Rumburak

↑ FlyingMonkey:

Odpověď na první otázku zní ano. EDIT. Ale záleží i na tom, jakým způsobem jste si komplexní čísla zavedli. Obvykle se to dělá tak, že se vezmou
vektory (a, b) z R2, k nim se dodefinuje operace násobení a ukáže se, že při těchto operacích je (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1) . A nyní
se zavede nová symbolika : každý vektor tvaru (x, 0) se ztotožní s reálným číslem x (protože (x, 0) + (y, 0) = (x+y,0) a (x, 0)*(y, 0) = (x*y,0) ,
takže tyto dvojice se od reálných čísel liší jen formálně, niloliv algebraicky) a místo (0, 1) se píše i ) .

Ještě se vrátím k původnímu výpočtu : bylo by to v pořádku, kdyby v závěru místo $z = \{0, 3\}$ bylo $z \in \{0, 3\}$ .

FlyingMonkey · 01. 03. 2012 14:51

Mno to je dobrý dotaz :D

osobně bych to tak určitě nenapsal :) Protože si myslím, že když vypisuji množinu prvků, tak to znamená, že to z se těm prvkům rovná, proto z = {0,3}
když by šlo například o interval, kde je těch prvků nekonečně mnoho. Už bych zapisoval $z \in \{0, 3\}$ :)

Je to tak ok? Ale že bych si byl nějak moc jistej, to ne :)

Rumburak

↑ FlyingMonkey:

Zápisy $\{0, 3\}$ , $(0, 3)$ - pokud je tím míněn interval a ne např. vektor (i v matematice existují případy, kdy tentýž symbol má dvojí význam,
a pak nutno slovy upřesnit, o co jde) vyjadřují množiny a $z =\{0, 3\}$ , $z = (0, 3)$ jsou výroky prohlašující, že symbol na levé straně je roven
množině na pravé straně. Chci-li napsat, že "z" je prvek jedné resp. druhé z těchto množin, musím napsat $z \in\{0, 3\}$ resp. $z \in (0, 3)$ .
V tomto je matematika nekompromisní.

PS. Ještě jsem cosi doplnill do svého předchozího příspěvku.