Matematické Fórum

Susho · 04. 03. 2012 09:11

Zdravím, prednášajúci nám zadal na prednáške takýto príklad na potrápenie.
Strieľame z jamy do jamy pod uhlom $\alpha$ a rýchlosťou $\vec{v}$ . Určte taký interval uhla $\alpha$ aby sme travili druhú jamu, za predpokladu že rýchlosť zostane konštantná.
Nákres to vysvetlí o čosi lepšie :D
A neviem sa pohnúť, začal som tým, že som zanedbal hĺbku druhej jamky, lebo bez ohľadu na ňu ju trafíme, tak či onak. Najskôr som to skúšal vyrátať bez toho aby sme strieľali z jamky, a strieľal som iba z povrchu, to mi neprišlo až také zložité. Rýchlosť som si rozložil na x-ovú (rovnomenrý priamočiary pohyb) a y-ovú zložku (rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb)
$\vec{v_x}= \vec{v} * \cos \alpha$ => konštanta
$\vec{v_y}= \vec{v} * \sin \alpha$ => $\vec{v} * \sin \alpha - gt$

určil som aj dráhu pre tieto zložky
$s_x=\vec{v}t\cos \alpha$
$s_y=\vec{v}t\sin \alpha -\frac{1}{2}gt$

v mieste dopadu do jamky by sa $s_y =0$ tak som to dosadil do rovnice a vyjadril čas
$t=\frac{2\vec{v}sin\alpha }{g}$
a dosadil do rovnice na dráhu $s_x$

po úpravách mi vyšlo niečo takého
$d=\frac{\vec{v^{2}\sin 2\alpha }}{g}$

coš, je závislosť miesta dopadu od uhla, z čoho si už ľahko uhol vypočítam....
ale spať k pôvodnému príkladu, tam neviem ako mám zohľadniť to, že strieľam z jamy

zdenek1 · 04. 03. 2012 15:33

↑ Susho:
$x=v_0t\cos\alpha\ \Rightarrow\ t=\frac x{v_0\cos\alpha}$
$y=v_0t\sin\alpha-\frac12gt^2=v_0\frac x{v_0\cos\alpha}\sin\alpha-\frac g2\left(\frac x{v_0\cos\alpha}\right)^2=x\tan\alpha-\frac g{2v_0^2}(1+\tan^2\alpha)x^2$
Tím máš rovnici trajektorie.

Do ní bych dosadil souřadnice bodů $A$ a $B$ , vypočítal příslušné úhly a vybral ten větší - tím bych dostal minimální úhel.
Pak bych dosadil souřadnce bodu $C$ a určil maximální úhel.

Susho · 12. 03. 2012 16:15

Zdravím, ospravedlňujem sa, ale až teraz sa mi podarilo nájsť znova čas na riešenie.
Zvolil som ale trošku iný postup.

1. Vyjadrenie času
$t=\frac{x}{v_{o}\cos \alpha }$

2. Vypočítal

$t_{1,2}$ z rovnice $y=v_{o}t-\frac{gt^{2}}{2}$

Vybral som ten vyšší => $t_{1}=\frac{v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}-2gy}}{g}$

3. Porovnávacou metódou som vypočítal t

$\frac{v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}-2gy}}{g}=\frac{x}{v_{o}\cos \alpha }$

Vyjadril uhol $\alpha =\cos ^{-1}\frac{xg}{v^{2}+v\sqrt{v^{2}-2gy}}$

A až tam by som dosadzoval súradnice bodov $A,B,C$ je aj tento postup správny?

Susho · 12. 03. 2012 18:34 — Editoval Susho (13. 03. 2012 18:46)

noooo, musím odznova prepočítať :D školácka chybička se vloudila
-takže rovnicu trajektórie upravíme na tvar kvadratickej rovnice
$\frac{gx^{2}}{2v}\text{tg}^{2}\alpha-x\text{tg}\alpha +y+\frac{gx^{2}}{2v}=0$
diskriminant
$D=x^{2}-4\frac{gx^{2}}{2v}(y+\frac{gx^{2}}{2v})$
a výsledok
$\text{tg}\alpha =\frac{x+\sqrt{x^{2}-4\frac{gx^{2}}{2v}(y+\frac{gx^{2}}{2v})}}{\frac{gx^{2}}{v}}$
teraz dúfam že je to správne ;)
ak nie poprosím opravte ma

Matematické Fórum

#1 04. 03. 2012 09:11

KInematika - pomoc!

#2 04. 03. 2012 15:33

Re: KInematika - pomoc!

#3 12. 03. 2012 16:15

Re: KInematika - pomoc!

#4 12. 03. 2012 18:34 — Editoval Susho (13. 03. 2012 18:46)

Re: KInematika - pomoc!

Zápatí