Matematické Fórum

TB12 · 18. 10. 2008 14:37

Ahoj, potreboval bych dokazat rovnost nasledujici rovnice a nevim si s tim rady.

$arcsinx=arctg\frac{x}{\sqrt{1-x^2 }}$

Vite nekdo co s tim?

Pavel Brožek

Aby výraz dával smysl, musí být $x\in[-1,\, 1]$ . Existuje tedy $\varphi\in[-\frac{\pi}2,\,\frac{\pi}2]$ tak, že $x=\sin\varphi$ . Zřejmě platí

$\varphi=\arcsin x\nl \varphi=\arctan(\tan\varphi)=\arctan$\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$=\arctan$\frac{x}{+\sqrt{1-\sin^2\varphi}}$=\arctan$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

a tedy

$\arcsin x=\arctan$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

TB12 · 18. 10. 2008 15:43

Diky moc. Jenom bych to potreboval pochopit, takze bych k tomu potreboval popis, jak se k jednotlivym krokum doslo.

Pomohl by mi nekdo prosim?

musixx · 20. 10. 2008 08:52 — Editoval musixx (20. 10. 2008 08:53)

↑ TB12: Prvni rovnice pouze udava vztah mezi $x$ a $\varphi$ , tedy rika, jak jsme si to $\varphi$ zvolili. Udelali jsme to tak, aby $\varphi={\rm arcsin}x$ , coz slo (zduvodneno na prvnim radku odpovedi).

Zabyvejme se ted tim druhym radkem:

Prvni rovnost je jen definice inverzni funkce, tangens a arcus-tangens.

Druha rovnost je rozepsani pomoci sinu a cosinu, co je to tangens. Je to zakladni vzorecek z goniometrie.

Treti rovnost v citateli vyuziva toho, jak jsme si zadefinovali $x$ a $\varphi$ . Kdyz totiz $\varphi={\rm arcsin}x$ , tak $x=\sin\varphi$ . Ve jmenovateli je jen pouzita goniometricka jednicka, tedy fakt, ze pro livobolny uhel $\varphi$ plati $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$ , z cehoz plyne ta odmocnina.

Posledni rovnost opet jen vyuziva toho, jak jsme definovali $x$ a $\varphi$ .

Staci?

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2008 14:37

Dokazani rovnosti

#2 18. 10. 2008 14:53 — Editoval BrozekP (18. 10. 2008 14:54)

Re: Dokazani rovnosti

#3 18. 10. 2008 15:43

Re: Dokazani rovnosti

#4 20. 10. 2008 08:52 — Editoval musixx (20. 10. 2008 08:53)

Re: Dokazani rovnosti

Zápatí