Matematické Fórum

Frantik88 · 18. 10. 2008 15:37

Vyšetřete definiční obor funkce a její limity v krajních bodech intervalů definičního oboru.

$f(x)=\frac{sin 5x}{ln(x+1)}$

Pavel Brožek

A v čem je problém? Nevíš jak určit definiční obor? Nebo ten už máš a nevíš ty limity? Zkus napsat co už máš, zbytek dořešíme.

Frantik88 · 18. 10. 2008 15:55

Definiční obor jest (-1, +oo).

Přemýšlel jsem o těch limitách, ale nejsem si vůbec jistý :).

První limita x -> +oo vyjde 0? Došel jsem k tomu tak, že v čitateli dostanu nějaké číslo (ale nevím jaké sin oo = Pi/2?) a ve jmenovateli dostanu nekonečno. Pokud zlomek podelím dostanu 0.

Druhá limita x -> -1 je +oo? Tady si vůbec nejsem jistý.

Děkuji za případnou pomoc.

Pavel Brožek

↑ Frantik88:

Tak definiční obor musíme ještě omezit, ve jmenovateli nemůže být nula, takže aby $\ln(1+x)\neq0$ , musí být $x\neq0$ . Máme tedy tři body, v kterých počítáme limitu a to -1, 0 a $+\infty$ .

Limita sinu v nekonečnu neexistuje, to nám ale nevadí, stačí, že je sinus omezený, protože limita $\frac{1}{\ln(1+x)}$ je 0. Přesněji

$0\leq\lim_{x\to +\infty}\|\frac{\sin5x}{\ln(x+1)}\|\leq\lim_{x\to +\infty}\|\frac{1}{\ln(x+1)}\|=0$ a tedy $\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin5x}{\ln(x+1)}=0$

Pro x jdoucí do -1 zprava:

$\lim_{x\to-1^+}\,\frac{\sin5x}{\ln(1+x)}=\sin(-5)\cdot\lim_{x\to-1^+}\,\frac{1}{\ln(1+x)}=\sin(-5)\cdot\lim_{y\to0^+}\,\frac{1}{\ln(y)}=\sin(-5)\cdot0=0$

Limitu do nuly ti ještě nechám, když jsi o ni nevěděl.

Frantik88

Můj výsledek limity do nuly je 0..

Abych se přiznal, tak netuším, jak řešit příklady typu, kde například limita jde k nule a není v definičním oboru.

Pavel Brožek · 18. 10. 2008 22:06

↑ Frantik88:

Pokud počítáš limitu v nějakém bodě, tak je nezávislá na funkční hodnotě v tom bodě, je tedy úplně jedno, zda je v tom bodě funkce definovaná. Tvůj výsledek není dobře.

$\lim_{x\to0}\,\frac{\sin5x}{\ln(1+x)}=\lim_{x\to0}\,5\cdot\frac{\sin5x}{5x}\cdot\frac{x}{\ln(1+x)}=5\cdot1\cdot1=5$

V prvním kroku jsem pouze rozšířil zlomek 5x. Dále jsem použil větu, že limita součinu je součin limit a pak vyčíslil známé limity. Je to takhle dostatečně jasné?

Frantik88 · 19. 10. 2008 10:10

Nechápu proč to jest $5*1*1$ .

Pavel Brožek · 19. 10. 2008 10:19

$\lim_{x\to0}\,5\cdot\frac{\sin5x}{5x}\cdot\frac{x}{\ln(1+x)}=$\lim_{x\to0}\,5$\cdot$\lim_{x\to0}\,\frac{\sin5x}{5x}$\cdot$\lim_{x\to0}\,\frac{x}{\ln(1+x)}$=5\cdot$\lim_{x\to0}\,\frac{\sin5x}{5x}$\cdot$\lim_{x\to0}\,\frac{x}{\ln(1+x)}$$

Limity ve výrazu jsou:

$\lim_{x\to0}\,\frac{\sin5x}{5x}\quad=^{\textrm{l'Hospital}}\quad\lim_{x\to0}\,\frac{5\cos5x}{5}=\frac{5\cos(5\cdot0)}{5}=1$

$\lim_{x\to0}\,\frac{x}{\ln(1+x)}\quad=^{\textrm{l'Hospital}}\quad\lim_{x\to0}\,\frac{1}{\frac{1}{1+x}}=\lim_{x\to0}\,(x+1)=1$

Frantik88 · 19. 10. 2008 10:25

No jasně, jsem to ale vůl. Mě hlavně znepokojilo to, že v první limitě je sin 5x a nevěděl jsem, že když to zderivuji, že to bude cos 5x. :-X Děkuji moc, teď to chápu.

Frantik88 · 19. 10. 2008 14:20

Nechci zakládat další téma, protože bych potřeboval vysvětlit ještě něco na jedné limitě, tak to napíšu sem.

$\mathop{\lim}\limits_{x \to 0^-} ln(\frac{x}{x-1})$
$\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^+} ln(\frac{x}{x-1})$

Vůbec nevím, nevím, děkuji za případnou pomoc.

jelena · 19. 10. 2008 16:08

Pokud by se to brálo jako vyšetření chování funkce v bodě nespojitosti (0 zleva), tak bych postupovala takto:

$\lim_{x \to 0^-} \ln(\frac{x}{x-1})$

$\lim_{x \to 0^-} \ln(\frac{1}{1-\frac1x})$

1/x pro x k 0 zleva "se bliží" (-oo), v jmenovateli tedy máme 1+oo, zlomek $(\frac{1}{1-\frac1x})$ se bliží 0, celá funkce ln(...) v bodě nespojitosti (0) se bliží do -oo.

Ale nějaký korektnější zápis nenapadá, snad někdo z kolegů.

Frantik88 · 19. 10. 2008 16:11

Dobré, výsledek je správně :). Jen mi prostě nedochází proč Ln(0-) je nekonečno :). Uph.. :)

jelena · 19. 10. 2008 16:24

↑ Frantik88:

Určiš definiční obor zadané funkce a pak vyšetřuješ, co děla hodnota funkce, pokud x se přibližuje od -oo k "okraji definičního oboru" v bodě x=0. Jelikž se přibližujeme k nule zleva, tak si představujeme dosazování za x velmi malých záporných hodnot.

OK?

Frantik88 · 19. 10. 2008 16:35

:) Už chápu :-), děkuji moc...

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2008 15:37

Df, limita..

#2 18. 10. 2008 15:46 — Editoval BrozekP (18. 10. 2008 15:47)

Re: Df, limita..

#3 18. 10. 2008 15:55

Re: Df, limita..

#4 18. 10. 2008 16:06 — Editoval BrozekP (18. 10. 2008 16:07)

Re: Df, limita..

#5 18. 10. 2008 18:15 — Editoval Frantik88 (18. 10. 2008 18:23)

Re: Df, limita..

#6 18. 10. 2008 22:06

Re: Df, limita..

#7 19. 10. 2008 10:10

Re: Df, limita..

#8 19. 10. 2008 10:19

Re: Df, limita..

#9 19. 10. 2008 10:25

Re: Df, limita..

#10 19. 10. 2008 14:20

Re: Df, limita..

#11 19. 10. 2008 16:08

Re: Df, limita..

#12 19. 10. 2008 16:11

Re: Df, limita..

#13 19. 10. 2008 16:24

Re: Df, limita..

#14 19. 10. 2008 16:35

Re: Df, limita..

Zápatí