Matematické Fórum

↑ brodzko:
Prvé náznaky  použitia čísla (1/e) v prácach Johna Napiera

http://www.see.ed.ac.uk/~mlexa/supporti … evised.pdf

Nevím jestli otom napsal něco prvně Napier(tím nemyslím na toto fórum samozřejmě :)) ), takže sem napíšu to co jsem se otom dočetl já.

Eulerovo číslo objevil Jacob Bernoulli při studiích složeného úroku (během spoření se na účet zapíše úrok a tím se zvýší částka na kontě a tato nová částka se dále úročí)

Což ho vedlo k určení

Například účet, který začíná s 1korunou a za rok se přičte 100% úroku, končí na konci roku s (1+1)*koruna na účtu.
Pokud se však úrok bude přičítat složeně, například 2krát za rok po 50%tech, pak na konci roku zůstane na účtu , čili
Pokud se bude úrok přičítat 3krát ročně, potom to bude

Bernoulli si všiml, že tato hodnota se blíží k jedné hodnotě, tedy že má limitu.

Při týdenním uročení 2.692597*koruna, při denním úročení 2.714567*koruna.

Pokud se počet zúročení bude blížit nekonečnu, pak hodnota násobku bude mít limitu a ta bude rovna Eulerovu číslu.

Tedy Eulerovo číslo lze spočítat řešením
Lze taky dokázat, že
Čili pokud celkový úrok bude 300% (1+3*1) pak pokud se tento úrok rozdělí do nekonečna složených úroků, pak bude celková částka na konci zúčtovacího období  krát větší  než vklad.

(zdroj http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_Bernoulli)



Tuto limitu lze vyřešit pomocí binomické věty
, ve skutečnosti tuto mocninu složeného množství lze rozložit do nekonečné řady, (která pro n=celé číslo je konečná). A to definováním jednotlivých členů.


Ve skutečnosti jsem nenapsal před jednotlivé členy koeficienty, čili kolikrát jsou násobeny jednotlivé členy binomické věty. Koeficient jsem napsal pouze před první člen a to , platí, že další koeficienty jde napsat pomocí násobku zlomků a to následovně ...



(pokud "n" bude zlomek, pak vznikne nekonečná řada, pokud bude "n" celé číslo, pak řada bude obsahovat přesně "n+1" členů)



Eulerovo číslo lze tedy napsat pomocí nekonečného zlomku (nyní bez R)


Lze taky dokázat, že
pro R, které je konečné číslo, a že pro tento rozklad má smysl brát v potaz pouze první dva členy

Tedy že
(n=nekonečno)

Tak mohl jsem tam samo napsat místo nekonečna "n" a krátit to, ale to je přece jedno. Je to snad špatně?

No právě Euler razil i teorii, že ti co se domnívají, že nekonečno není schopné se zvyšovat či snižovat se mílí, čili že existuje více nekonečen
1/nekonečno je číslo nekonečně malé, čili prakticky "0". tedy 1/nekonečno=0 a tedy 1=nekonečno*0(nula je 1/nekonečno) a odtud 1/0=nekonečno.

přičemž ale 5/0 je 5*1/0, čili 5*nekonečno, samozřejmě by se asi muselo specifikovat, zda ta nula je tvořena 1/nekonečno nebo 5/nekonečno, protože pak 5/0 by mohlo být 1*nekonečno.

Čili já jsem se řídil při tom dosazování právě tím, že pokud tam napíšu nekonečno a  znovu nekonečno, že jde o stejné nekonečno, čili dosazuji vždy stejné "n" a je už jedno jestli napíšu "n" nebo to stejné nekonečno a pokud mi tam vyjde jeho násobek, tak to samozřejmě příslušně krátím. Což je teda v dnešní době asi formálně nesprávně, ale ... nedá se u toho taky udělat chyba podle mě.

Jinak o té posloupnosti jsem si četl(víceméně náhodou). Tam je potřeba říct, že Euler tam sice tvrdí, že je 1/2 ale je to jakoby neukončená myšlenka, on tam sám zdůrazňuje, že je pořeba "nezapomenout" přičíst zbytek a pak naněj jakoby sám "zapomene".
Ta posloupnost vznikne dělením mnohočlenu 1/(1+1) = 1-1+1-1+1 (obecně 1/(1+a))
(kde nakonci je vždy zbytek buď +1/2 nebo -1/2, díky čemuž je to právě vždy +1/2).

zbytek má vždy opačné znaménko než poslední člen
nebo taky takto pro a=1 (jde to taky odvodit obecně pro a/(b+c) )


Podle mě ta jeho teorie proč tato posloupnost je rovna 1/2 plynula z toho, že z toho členu je jasně vidět, že ta řada musí být vždy 1/(1+1) tedy 1/2 a pokud se to dělení bude provádět do nekonečna, tak k tomu přičtení zbytku nikdy nedojde, čili lze říct, že pokud ta řada bude nekonečná, pak tam ten zbytek nakonci nebude a přesto to bude 1/2, alespoň tak jsem to pochopil já(a podle mě to tak myslel i Euler, on tam zdůrazňuje právě o kus víš, že ten zbytek se nesmí zapomenout přičíst v souvislosti stím, pokud se ta řada "zastaví" na jakémkoliv členu a pak u té posloupnosti píše, že se musí jít do nekonečna "bez zastavení").
Dokonce pak i zdůvodňoval, proč ta posloupnost je rovna 1/2, jelikož to číslo je chvíli 1 a chvíli 0, čili 1/2, načemž svým způsobem něco taky je, protože ten zbytek je vždy stejný a je jen buď + nebo - a čili pokud ta posloupnost má vést k jedné hodnotě a má se korigovat pouze jedním až na znaménko "stejným" zbytkem, pak je jasné, že hodnota té posloupnosti musí ležet mezi těmi dvěma čísli 1 a 0 mezi kterými skáče.

Ale přiznám se, že o matematice toho zase tak moc nevím, protože jsem ji nestudoval.

Tvoj uvaha je ta ista co Euler-ova .
Tiez sa vie, ze pouzil aj
(1 - 1 + 1 - 1 + 1...) (1 - 1 + 1 - 1 + 1...) = 1/2 *1/2=1/4

z coho vyvodil
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ...
   – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ...
        + 1 – 1 + 1 – 1 ...
              – 1 + 1 …….
................
cize 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …..
A preto 1 – 2 + 3 – 4 + 5 ... = 1/4

No v literature sa da najst aj vela  inych ( zaujima to niekoho?)... a taketo "chyby" posluzili ( vdaka genialnemu Eulerovy) na rozvoj teorie o radoch.

↑ peter_4:,
No dobre, tak asi len pre malo zvedavych.
Nasiel som este toto

Z tejto relacie
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 ….. = 1/4
rozdelil parne a neparne casti
I = 1 + 3 + 5+ 7 + ...
a
P = 2 + 4 + 6 + 8 +...
Ale 2 + 4 + 6 + 8 + … = 2 (1 + 2 + 3 + 4 ...)= 2 (1 + 3 + 5 + ...) + (2 + 4 + 6 + 8 ...)
z toho: P = 2(I + P)
ale : I – P = 1/4
co da  I = 1/12 , P = – 1/6 a tak
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12

Na pokracovanie...

Co z toho mělo nakonec vzejít za posloupnost?

Nevím přesně, který poslední výraz jsi myslel, ale napadlo mě něco jinýho :), původně jsem totiž myslel, že myslíš toto:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12



Každé kladné číslo je ve skutečnosti vytvořeno tak, že se k 0le neustále přičítala jednotka 0+1=1; 1+1=2; 2+1=3; 4; 5; 6.
Nekonečno je číslo, které vzniká neustálým přičítáním jednotky k nule bez zastavení.

Pokud se do té posloupnosti výš dosadí a=1, pak se dostane.


Což sám Euler uvedl jako potvrzení toho, že 1/0 je nekonečno.

Já teď odečtu od obou stran 1čku



derivace tohohle výrazu by byla




Pro a= 1 by to sice vyvracelo že 1+2+3+4... = -1/12, ale ...



když dosadím za 0lu 1/nekonečno, tak dostanu že


Což můžu rozložit jako
1+1+1+1+1+1
  +1+1+1+1+1
      +1+1+1+1
          +1+1+1

Čímž je vidět že v posloupnosti 1+2+3+4... je nekonečněkrát posloupnost 1+1+1+1..., která je rovna nekonečnu, tedy nekonečno krát nekonečno = nekonečno^2 :)

Chtěl jsem se něco nového dozvědět, zase tak moc jsem si toho o něm nepřečetl :). Neumím bohužel latinsky. Ikdyby tak bych to nejspíš i tak nepochopil.

Studoval jsem životní prostředí. A na samouka jsem moc línej, to je trochu silný slovo, přečtl jsem si jen část z Elements of algebra od Eulera, kde jsou tyto věci napsané a navíc to je psané pro úplné začátečníky a to dost jednoduše, dalo by se říct geniálně jednoduše...