Matematické Fórum

zuzule · 07. 03. 2012 11:42

Ahoj chci se zeptat jaké je správný řešení pro dokázání neexistence limity. Napadly nás s kamarádkou dva způsoby jak je řešit a potřebuju vědět, který je ten správný.

$\lim_{(x,y) \to (1,4)}\frac{x^2-1}{y-4}$

Já jsem postupovala takhle

$\lim_{x \to 1}(\lim_{y \to 4} \frac{x^2-1}{y-4})=\lim_{x \to 1}(\frac{x^2-1}{0})$

takže jsem udělala jednostranný limity pro

$\lim_{y \to 4^+} \frac{x^2-1}{y-4}=(1-x^2)\infty$
$\lim_{y \to 4^-} \frac{x^2-1}{y-4}=(x^2-1)\infty$

což neexistují a po přehození výjde tohle

$\lim_{y \to 4}(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{y-4})=\lim_{y \to 4}(\frac{0}{y-4})=0$

Mno a kamarádku napadlo u toho prvního případu použít L´Hopitalovo pravidlo

$\lim_{x \to 1}(\lim_{y \to 4} \frac{x^2-1}{y-4})=\lim_{x \to 1}(\frac{x^2-1}{0})=\lim_{x \to 1}\frac00$

udělat L´Hopitala takže se dostane k něčemu takovému to

$\lim_{x \to 1}(\lim_{y \to 4} \frac{x^2-1}{y-4})$

tady udělá L´Hopitala a výjde jí něco takového

$\lim_{x \to 1}(\lim_{y \to 4}(\frac{x}{1})=\lim_{x \to 1}x=1$

a potom to samý stím přehozením

$\lim_{y \to 4}(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{y-4})=\lim_{y \to 4}(\frac{0}{y-4})=0$

Celkem by mě tedy zajímalo, který postup při určování neexistence limity je správný.
Děkuju :-)

kaja.marik

l'Hospitalovo pravidlo pro funkci dvou promennych nejde pouzit.

Jak mate vlastne definovanou tu limitu? Nekdy definice vyzaduje, aby funkce byla definovana v ryzim okoli toho bodu. Potom je neexistence limity trivialni a neni co pocitat.

A bezny trik je, blizit se k bodu po nejakych krivkach. Tady to po parabole vychazi jinak nez po primce - nula versus dva

Code:

----------------------------------------------------------------------
| Sage Version 4.8, Release Date: 2012-01-20                         |
| Type notebook() for the GUI, and license() for information.        |
----------------------------------------------------------------------
sage: k,t,=var('k t')
sage: f(x,y)=(x^2-1)/(y-4)
sage: f(1+t^2,4+t).simplify_full()    
t^3 + 2*t
sage: lim(_,t=0)      
0
sage: f(1+t,4+t).simplify_full()    
t + 2
sage: lim(_,t=0)
2

Nechtelo se mi to vypisovat, tak jsem pouzil http://www.sagemath.org/ , snad je vse jasne.

Editace: mel jsem tam chybu, ted jsem ji opravil, upozornil me vanok, dekuji.

vanok · 07. 03. 2012 12:20 — Editoval vanok (07. 03. 2012 12:22)

Ahoj ↑ zuzule:,
To celkom tak nefunguje ako pises...
napriklad pouzit L´Hopitalov princip nema zmysel ( vsak hypotezy nie su vobec splnene)

Metoda je, poznatky z prednasky, skript....
A tak iste vies, ze limita, ak existuje musi byt rovnaka ked sa priblizis v hocijakom smere k bodu (1, 4)
konnretne to znamena, ze ked sa polozis napriklad $y-4=x-1$ , cize $y=x+3$ tak pre x--> 1, y-4 -->0 ( co znamena tiez ze sa priblizujes k budu (1,4) pozdlz priamky y=x+3)
dostanes limitu 0.
Teraz vyber iny smer (direkciu), k danemu bodu napriklad vyjadrenu relaciu $y-4= 4(x-1)$ , cize $y=4x$
vtedy limita je 1/4.

A ak limita EXISTUJE to je nemozne.

Poznamka: dal som ti tu dost detailov, aby si podla tohto modelu mohla riesit aj ine priklady....ale teoriu si dopln z tvojich poznamok

zuzule · 07. 03. 2012 12:32

Děkuju za objasněný :-)

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2012 11:42

Neexistence limity

#2 07. 03. 2012 12:08 — Editoval kaja.marik (19. 03. 2012 10:06)

Re: Neexistence limity

Code:

#3 07. 03. 2012 12:20 — Editoval vanok (07. 03. 2012 12:22)

Re: Neexistence limity

#4 07. 03. 2012 12:32

Re: Neexistence limity

Zápatí